Seja S a porção superior de uma esfera que intercepta o plano z = 0 na circunferência x^2 + y^2 = 1. Se F (x , y , z) = (y , − x , e^xz ) , calcule...

Para calcular a integral ∫ ∫ S [ ( VxF) ∙ →n].dS, onde S é a porção superior de uma esfera que intercepta o plano z = 0 na circunferência x^2 + y^2 = 1 e F (x , y , z) = (y , − x , e^xz ), podemos utilizar o Teorema de Stokes. Primeiro, precisamos calcular o rotacional de F: VxF = ( ∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z , ∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x , ∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y ) = ( x , -x , -1 ) Agora, precisamos calcular o vetor normal unitário →n da superfície S. Como S é a porção superior de uma esfera, o vetor normal aponta para cima, ou seja, →n = (0, 0, 1). Assim, temos: ∫ ∫ S [ ( VxF) ∙ →n].dS = ∫ ∫ S (0, 0, x).(0, 0, 1).dS = ∫ ∫ S 0.dS = 0 Portanto, a alternativa correta é a letra A) π.