7. Calcule as integrais triplas sobre os paralelepípedos. a) ∫∫∫ B (x2 + y + 3z)dV , onde B = {(x, y, z) ∈ R3; 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2, −1 ≤ z ≤ 1} b)...

a) Para calcular a integral tripla, devemos integrar a função (x² + y + 3z) em relação a x, y e z, respectivamente, no intervalo dado. Assim, temos: ∫∫∫ B (x² + y + 3z)dV = ∫₁² ∫₁² ∫₋₁¹ (x² + y + 3z) dz dy dx = ∫₁² ∫₁² [(x² + y)z + 3z²/2]₋₁¹ dy dx = ∫₁² ∫₁² [(x² + y)(-1) + 3(-1)²/2 - (x² + y)(-1) - 3(-1)²/2] dy dx = ∫₁² ∫₁² (-2) dy dx = (-2) ∫₁² ∫₁² dy dx = (-2) ∫₁² [y]₁² dx = (-2) ∫₁² (2 - 1) dx = (-2) ∫₁² dx = (-2) [x]₁² = (-2)(2 - 1) = -2 Portanto, a integral tripla ∫∫∫ B (x² + y + 3z)dV sobre o paralelepípedo B é igual a -2. b) Para calcular a integral tripla, devemos integrar a função sen(x+2y+3z) em relação a x, y e z, respectivamente, no intervalo dado. Assim, temos: ∫∫∫ B sen(x+2y+3z)dV = ∫₁² ∫₁³ ∫₋₁² sen(x+2y+3z) dz dy dx = ∫₁² ∫₁³ [-cos(x+2y+3z)/3]₋₁² dy dx = ∫₁² ∫₁³ [(cos(x+2y+3) - cos(x+2y-3))/3] dy dx = ∫₁² [(sen(x+2y-3) - sen(x+2y+3))/6]₁³ dx = [(sen(x+2(3)-3) - sen(x+2(3)+3))/6 - (sen(x+2(1)-3) - sen(x+2(1)+3))/6]₁² = [(sen(x+3) - sen(x-1))/6 - (sen(x-1) - sen(x+5))/6]₁² = [(sen(x+3) - sen(x-1)) - (sen(x-1) - sen(x+5))]/6 = (sen(x+3) - 2sen(x-1) + sen(x+5))/6 Portanto, a integral tripla ∫∫∫ B sen(x+2y+3z)dV sobre o paralelepípedo B é igual a (sen(x+3) - 2sen(x-1) + sen(x+5))/6. c) Para calcular a integral tripla, devemos integrar a função (x+cos(y)+ez) em relação a x, y e z, respectivamente, no intervalo dado. Assim, temos: ∫∫∫ B (x+cos(y)+ez)dV = ∫₁² ∫₀ᴨ ∫₁² (x+cos(y)+ez) dz dy dx = ∫₁² ∫₀ᴨ [(x+cos(y))z + ez²/2]₁² dy dx = ∫₁² ∫₀ᴨ [(x+cos(y))(2-1) + e(2²/2 - 1²/2)] dy dx = ∫₁² ∫₀ᴨ [(x+cos(y)) + 3e] dy dx = ∫₁² [(xy + sen(y)) + 3ey]₀ᴨ dx = ∫₁² [(x(3-1) + cos(π) - cos(0)) + 3e(2-1)] dx = ∫₁² (2x + 1) dx = [(x² + x)]₁² = (2² + 2) - (1² + 1) = 2 Portanto, a integral tripla ∫∫∫ B (x+cos(y)+ez)dV sobre o paralelepípedo B é igual a 2. d) Para calcular a integral tripla, devemos integrar a função (xy+z) em relação a x, y e z, respectivamente, no intervalo dado. Assim, temos: ∫∫∫ B (xy+z) dV = ∫₁² ∫₁³ ∫₂³ (xy+z) dz dy dx = ∫₁² ∫₁³ [(xy)z + z²/2]₂³ dy dx = ∫₁² ∫₁³ [(xy)(3-2) + (3²/2 - 2²/2)] dy dx = ∫₁² ∫₁³ (xy + 1/2) dy dx = ∫₁² [(x(27/2) + 3/2) - (x(9/2) + 1/2)] dx = ∫₁² (9x + 1) dx = [(9/2)x² + x]₁² = (18/2 + 2) - (9/2 + 1) = 10 Portanto, a integral tripla ∫∫∫ B (xy+z) dV sobre o paralelepípedo B é igual a 10.