8. Calcule as integrais triplas. a) ∫∫∫ B 2xdV , onde B = {(x, y, z) ∈ R3; 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ √ 4− y2, 0 ≤ z ≤ y} b) ∫∫∫ B ez/ydV , onde B = {(x, y...

a) Para calcular a integral tripla ∫∫∫ B 2xdV, onde B = {(x, y, z) ∈ R3; 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ √ 4− y2, 0 ≤ z ≤ y}, podemos utilizar a ordem de integração dzdydx. Assim, temos: ∫∫∫ B 2xdV = ∫0^2 ∫0^√(4-y^2) ∫0^y 2x dzdxdy = ∫0^2 ∫0^√(4-y^2) 2xy dydx = ∫0^2 [x(2/3)(4-y^2)^(3/2)]_0^√(4-y^2) dx = ∫0^2 (8/3)x dx = [4x^2/3]_0^2 = 16/3 Portanto, a resposta é 16/3. b) Para calcular a integral tripla ∫∫∫ B ez/ydV, onde B = {(x, y, z) ∈ R3; 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ xy}, podemos utilizar a ordem de integração dzdxdy. Assim, temos: ∫∫∫ B ez/ydV = ∫0^1 ∫y^1 ∫0^xy ez/y dzdxdy = ∫0^1 ∫y^1 y(e^x - 1) dxdy = ∫0^1 [ye^x - yx]_y^1 dy = ∫0^1 (e - 1 - ye^y + y) dy = [ye^y - y^2/2 - ye^y + y]_0^1 = -1/2 + e Portanto, a resposta é -1/2 + e. c) Para calcular a integral tripla ∫∫∫ B z x2 + z2 dV, onde B = {(x, y, z) ∈ R3; 1 ≤ y ≤ 4, y ≤ z ≤ 4, 0 ≤ x ≤ z}, podemos utilizar a ordem de integração dxdzdy. Assim, temos: ∫∫∫ B z x2 + z2 dV = ∫1^4 ∫y^4 ∫0^z z(x^2 + z^2) dxdzdy = ∫1^4 ∫y^4 z(z^2/3 + z^3) dydz = ∫1^4 [z(z^2/3 + z^3)(4 - y) - z(z^2/3 + z^3)(y - 1)]_y^4 dz = ∫1^4 (22z^4/3 - 5z^5/3) dz = [11z^5/15 - z^6/18]_1^4 = 319/15 Portanto, a resposta é 319/15. d) Para calcular a integral tripla ∫∫∫ B x2 sen(y)dV, onde B = {(x, y, z) ∈ R3; 0 ≤ x ≤ √ π, 0 ≤ z ≤ x, 0 ≤ y ≤ xz}, podemos utilizar a ordem de integração dydzdx. Assim, temos: ∫∫∫ B x2 sen(y)dV = ∫0^√π ∫0^x ∫0^xz x2 sen(y) dydzdx = ∫0^√π ∫0^x x2(1 - cos(xz)) dzdx = ∫0^√π [x2z - x2sen(xz)/z]_0^x dx = ∫0^√π (x3 - x3sen(x2)/x) dx = [x4/4 + cos(x2)/8]_0^√π = π/4 + (cosπ - 1)/8 = π/4 - 1/4 Portanto, a resposta é π/4 - 1/4.