3. Calcule ∫ (√x− 1)2√x dx por dois métodos: a) expandindo o (√x− 1)2 e multiplicando o resultado por x− 1 b) tomando u = √x− 1 c) Explique a difer...

a) Expandindo o (√x− 1)², temos (√x− 1)² = x - 2√x + 1. Então, podemos reescrever a integral como: ∫ (√x− 1)²√x dx = ∫ (x - 2√x + 1)√x dx = ∫ (x^(3/2) - 2x + x^(1/2)) dx = (2/5)x^(5/2) - (4/3)x^(3/2) + (2/3)x^(3/2) + C = (2/5)x^(5/2) - (2/3)x^(3/2) + C Multiplicando o resultado por x - 1, temos: ∫ (√x− 1)²√x dx = [(2/5)x^(5/2) - (2/3)x^(3/2)](x - 1) + C b) Tomando u = √x - 1, temos que x = (u + 1)² e dx = 2(u + 1)du. Substituindo na integral, temos: ∫ (√x− 1)²√x dx = ∫ u²(u + 1)2 du = ∫ (u^4 + 2u^3 + u^2) du = (1/5)u^5 + (1/2)u^4 + (1/3)u^3 + C = (1/5)(√x - 1)^5 + (1/2)(√x - 1)^4 + (1/3)(√x - 1)^3 + C c) A diferença entre as respostas de (a) e (b) é que elas são equivalentes, mas escritas de forma diferente. A resposta de (a) é mais simples e direta, enquanto a resposta de (b) envolve uma substituição de variáveis. Ambas as respostas são corretas e podem ser usadas dependendo da preferência do estudante ou da conveniência da situação.