14. Considere as funções f(x) = sen(x2) e g(x) = ex2. Mostre que ambas as funções possuem primitiva segundo o teorema fundamental do cálculo e expl...

Para mostrar que uma função possui primitiva segundo o teorema fundamental do cálculo, é necessário encontrar uma função cuja derivada seja igual à função dada. No caso da função f(x) = sen(x²), podemos utilizar a regra da cadeia para encontrar sua primitiva. Assim, temos: ∫f(x)dx = ∫sen(x²)dx Fazendo a substituição u = x², temos: du/dx = 2x dx = du/2x Substituindo na integral, temos: ∫f(x)dx = ∫sen(x²)dx = ∫sen(u)du/2x = (1/2)∫sen(u)/x du Podemos utilizar a integração por partes para resolver a integral restante: u = sen(u) => du = cos(u)du dv = 1/x du => v = ln|x| Assim, temos: ∫f(x)dx = (1/2)∫sen(u)/x du = (1/2)sen(u)ln|x| - (1/2)∫cos(u)ln|x|du Podemos repetir o processo de integração por partes para resolver a integral restante, mas não é possível encontrar uma expressão fechada para a primitiva de f(x) = sen(x²). No caso da função g(x) = e^(x²), podemos utilizar a regra da cadeia para encontrar sua primitiva. Assim, temos: ∫g(x)dx = ∫e^(x²)dx Fazendo a substituição u = x², temos: du/dx = 2x dx = du/2x Substituindo na integral, temos: ∫g(x)dx = ∫e^(x²)dx = ∫e^u du/2x = (1/2)∫e^u/x du Podemos utilizar a substituição v = u/x para resolver a integral restante: v = u/x => u = vx du = vdx + xdv Substituindo na integral, temos: ∫g(x)dx = (1/2)∫e^u/x du = (1/2)∫e^v dv Integrando, temos: ∫g(x)dx = (1/2)∫e^v dv = (1/2)e^v + C = (1/2)e^(x²) + C Portanto, a função g(x) = e^(x²) possui primitiva segundo o teorema fundamental do cálculo.