3. Determine a menor distância entre o ponto (2, 0,−3) e o plano x+ y + z = 1

Para determinar a menor distância entre o ponto \( P(2, 0, -3) \) e o plano \( x + y + z = 1 \), podemos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano. A fórmula da distância \( d \) de um ponto \( (x_0, y_0, z_0) \) ao plano \( Ax + By + Cz + D = 0 \) é dada por: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] No seu caso, o plano \( x + y + z = 1 \) pode ser reescrito como \( x + y + z - 1 = 0 \). Assim, temos: - \( A = 1 \) - \( B = 1 \) - \( C = 1 \) - \( D = -1 \) Agora, substituímos as coordenadas do ponto \( P(2, 0, -3) \): \[ d = \frac{|1(2) + 1(0) + 1(-3) - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} \] Calculando o numerador: \[ d = \frac{|2 + 0 - 3 - 1|}{\sqrt{3}} = \frac{|-2|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \] Portanto, a menor distância entre o ponto \( (2, 0, -3) \) e o plano \( x + y + z = 1 \) é \( \frac{2\sqrt{3}}{3} \).