5. Determine três números positivos cuja soma é 100 e cujo o produto é máximo.

Para determinar três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo, podemos usar o método de Lagrange ou a abordagem de otimização. Vamos chamar os três números de \(x\), \(y\) e \(z\). Temos as seguintes condições: 1. \(x + y + z = 100\) 2. Queremos maximizar o produto \(P = x \cdot y \cdot z\). Para simplificar, podemos expressar \(z\) em termos de \(x\) e \(y\): \[ z = 100 - x - y \] Substituindo na função do produto: \[ P = x \cdot y \cdot (100 - x - y) \] Para maximizar \(P\), podemos usar a técnica de derivadas, mas uma abordagem mais simples é perceber que, para um dado valor fixo da soma, o produto é maximizado quando os números são iguais ou o mais próximo possível. Assim, dividimos 100 em três partes iguais: \[ x = y = z = \frac{100}{3} \approx 33,33 \] Portanto, os três números positivos que maximizam o produto, cuja soma é 100, são aproximadamente: \[ x \approx 33,33, \quad y \approx 33,33, \quad z \approx 33,33 \] Assim, o produto máximo é alcançado quando os três números são iguais ou muito próximos.