Determine a solução geral da equação diferencial 3 y ′′ − 3 y ′ − 6 y = 0 .Determine a solução para a equação diferencial 4 y ′′ + 4 y = 8 s e c ...

Para determinar a solução geral da equação diferencial 3y'' - 3y' - 6y = 0, primeiro precisamos encontrar as raízes da equação característica associada, que é dada por 3r² - 3r - 6 = 0. Resolvendo essa equação, obtemos r = -1 e r = 2. Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada por y(x) = c1e^(-x) + c2e^(2x), onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. Para determinar a solução da equação diferencial 4y'' + 4y = 8sec(x), podemos primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada, que é dada por 4y'' + 4y = 0. A equação característica associada é r² + 1 = 0, que tem soluções imaginárias r = ±i. Portanto, a solução geral da equação homogênea é dada por y(x) = c1cos(x) + c2sin(x), onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. Para encontrar uma solução particular da equação não homogênea, podemos usar o método da variação das constantes. Suponha que a solução particular seja da forma y(x) = u(x)cos(x) + v(x)sin(x), onde u(x) e v(x) são funções a serem determinadas. Então, temos: y'(x) = u'(x)cos(x) - u(x)sin(x) + v'(x)sin(x) + v(x)cos(x) y''(x) = -u'(x)sin(x) - u(x)cos(x) + v'(x)cos(x) - v(x)sin(x) Substituindo essas expressões na equação diferencial original, obtemos: - u'(x)sin(x) - u(x)cos(x) + v'(x)cos(x) - v(x)sin(x) + 4u(x)cos(x) + 4v(x)sin(x) = 8sec(x) Igualando as partes real e imaginária, obtemos o sistema de equações: - u'(x) + 4u(x) = 8cos(x) v'(x) + 4v(x) = 8sin(x) Resolvendo essas equações, obtemos: u(x) = -2cos(x) + c1e^(-4x) v(x) = 2sin(x) + c2e^(-4x) Portanto, a solução geral da equação diferencial 4y'' + 4y = 8sec(x) é dada por y(x) = c1cos(x) + c2sin(x) - 2cos(x)e^(-4x) + 2sin(x)e^(-4x). As constantes c1 e c2 podem ser determinadas a partir das condições iniciais.