(UNICAMP - 2007) Seja dada a reta x - 3y + 6 = 0 no plano xy. a) Se P é um ponto qualquer desse plano, quantas retas do plano passam por P e formam...

a) Seja P um ponto qualquer do plano. Para que uma reta passe por P e forme um ângulo de 45° com a reta dada, ela deve ser perpendicular à reta que contém o ponto P e que é paralela à reta dada. A equação dessa reta é x - 3y + k = 0, onde k é uma constante a ser determinada. Como a reta deve ser perpendicular à reta que contém o ponto P, temos que seu coeficiente angular é 3. Assim, temos: y = (1/3)x + b (equação geral da reta perpendicular) x - 3y + k = 0 (equação da reta dada) Substituindo a primeira equação na segunda, temos: x - 3[(1/3)x + b] + k = 0 x - x + 3b + k = 0 3b + k = 0 k = -3b Portanto, a equação da reta que passa por P e forma um ângulo de 45° com a reta dada é x - 3y - 3b = 0, onde b é uma constante arbitrária. b) Para o ponto P(2,5), a reta que contém P e é paralela à reta dada tem a equação x - 3y + k = 0, onde k é uma constante a ser determinada. Substituindo as coordenadas de P na equação, temos: 2 - 3(5) + k = 0 k = 17 Portanto, a equação da reta que contém P e é paralela à reta dada é x - 3y + 17 = 0. Para determinar a equação da reta que passa por P e forma um ângulo de 45° com a reta dada, basta substituir as coordenadas de P na equação encontrada no item a: x - 3y - 3b = 0 2 - 3(5) - 3b = 0 b = -1 Assim, a equação da reta procurada é x - 3y + 3 = 0.