Seja dada a reta x - 3y + 6 = 0 no plano xy. Se P é um ponto qualquer desse plano, quantas retas do plano passam por P e formam um ângulo de 45o co...

Para encontrar as retas que passam por P e formam um ângulo de 45 graus com a reta dada, podemos utilizar a equação geral da reta: ax + by + c = 0 Sabemos que a reta dada é x - 3y + 6 = 0. Podemos reescrevê-la na forma geral: x - 3y - 6 = 0 Agora, para encontrar as retas que passam por P = (2, 5) e formam um ângulo de 45 graus com a reta dada, podemos utilizar a fórmula: tg(45) = m1 - m2 / 1 + m1 * m2 Onde m1 é a inclinação da reta dada e m2 é a inclinação da reta que queremos encontrar. Substituindo os valores, temos: 1 = m1 - m2 / 1 + m1 * m2 m1 = 1/3 (inclinacao da reta dada) Substituindo m1, temos: 1 = 1/3 - m2 / 1 + 1/3 * m2 m2 = (4 - 3 * sqrt(2)) / (3 + sqrt(2)) ou m2 = (4 + 3 * sqrt(2)) / (3 - sqrt(2)) Agora, podemos utilizar a equação geral da reta para encontrar as equações das retas que passam por P e formam um ângulo de 45 graus com a reta dada: y - 5 = (4 - 3 * sqrt(2)) / (3 + sqrt(2)) * (x - 2) ou y - 5 = (4 + 3 * sqrt(2)) / (3 - sqrt(2)) * (x - 2) Simplificando as equações, temos: y = (4 - 3 * sqrt(2)) / (3 + sqrt(2)) * x + (7 * sqrt(2) - 10) / (3 + sqrt(2)) ou y = (4 + 3 * sqrt(2)) / (3 - sqrt(2)) * x + (10 - 7 * sqrt(2)) / (3 - sqrt(2)) Portanto, existem duas retas que passam por P = (2, 5) e formam um ângulo de 45 graus com a reta dada, e suas equações são y = (4 - 3 * sqrt(2)) / (3 + sqrt(2)) * x + (7 * sqrt(2) - 10) / (3 + sqrt(2)) e y = (4 + 3 * sqrt(2)) / (3 - sqrt(2)) * x + (10 - 7 * sqrt(2)) / (3 - sqrt(2)).