Exercício 5.19. Veri�que que as derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas são dadas por (senhx)0 = coshx ; (coshx)0 = senhx ; (tanhx)0 = 1...

Para verificar as derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas, podemos usar as definições dessas funções e aplicar as regras de derivação. Começando com a função seno hiperbólico, temos: senh(x) = (e^x - e^(-x))/2 Podemos derivar essa função usando a regra da cadeia: (senh(x))' = (e^x + e^(-x))/2 = cosh(x) Portanto, a derivada de senh(x) é cosh(x). Agora, vamos olhar para a função cosseno hiperbólico: cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2 Podemos derivar essa função usando a regra da cadeia: (cosh(x))' = (e^x - e^(-x))/2 = senh(x) Portanto, a derivada de cosh(x) é senh(x). Por fim, vamos olhar para a função tangente hiperbólica: tanh(x) = senh(x)/cosh(x) Podemos usar a regra do quociente para derivar essa função: (tanh(x))' = [(cosh(x) * senh'(x)) - (senh(x) * cosh'(x))] / cosh^2(x) Substituindo as derivadas que já encontramos, temos: (tanh(x))' = [(cosh(x) * cosh(x)) - (senh(x) * senh(x))] / cosh^2(x) Simplificando, temos: (tanh(x))' = 1 / cosh^2(x) Ou, alternativamente: (tanh(x))' = sech^2(x) Portanto, a derivada de tanh(x) é 1/cosh^2(x) ou sech^2(x).