Exercício 3.15. Mostre que coshx é uma função par, e que senhx e tanhx são ímpares.

Para mostrar que cosh(x) é uma função par, precisamos provar que cosh(-x) = cosh(x). Usando a definição de cosh(x), temos: cosh(-x) = (e^(-x) + e^(x))/2 cosh(x) = (e^x + e^x)/2 Somando as duas equações, temos: cosh(-x) + cosh(x) = (e^(-x) + e^(x))/2 + (e^x + e^x)/2 cosh(-x) + cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2 + (e^x + e^x)/2 cosh(-x) + cosh(x) = 2cosh(x) Logo, cosh(-x) = cosh(x), o que prova que cosh(x) é uma função par. Para mostrar que senh(x) é uma função ímpar, precisamos provar que senh(-x) = -senh(x). Usando a definição de senh(x), temos: senh(-x) = (e^(-x) - e^(x))/2 senh(x) = (e^x - e^(-x))/2 Subtraindo as duas equações, temos: senh(-x) - senh(x) = (e^(-x) - e^(x))/2 - (e^x - e^(-x))/2 senh(-x) - senh(x) = (e^(-x) - e^(-x))/2 - (e^(x) - e^(x))/2 senh(-x) - senh(x) = -2e^x/2 + 2e^(-x)/2 senh(-x) - senh(x) = -senh(x) Logo, senh(-x) = -senh(x), o que prova que senh(x) é uma função ímpar. Para mostrar que tanh(x) é uma função ímpar, precisamos provar que tanh(-x) = -tanh(x). Usando a definição de tanh(x), temos: tanh(-x) = (senh(-x))/(cosh(-x)) tanh(x) = (senh(x))/(cosh(x)) Substituindo as definições de senh(-x) e cosh(-x), temos: tanh(-x) = ((e^(-x) - e^(x))/2)/((e^(-x) + e^(x))/2) tanh(x) = ((e^x - e^(-x))/2)/((e^x + e^(-x))/2) Simplificando as frações, temos: tanh(-x) = (e^(-x) - e^(x))/(e^(-x) + e^(x)) tanh(x) = (e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x)) Multiplicando o numerador e o denominador de tanh(-x) por -1, temos: tanh(-x) = (-e^(x) + e^(-x))/(-e^(x) - e^(-x)) Comparando com a definição de tanh(x), temos: tanh(-x) = -tanh(x) Logo, tanh(-x) = -tanh(x), o que prova que tanh(x) é uma função ímpar.