. Considere o seguinte modelo: x˙ = rx  1 − x K  − s x y 1 + sτ x y˙ = −cy + d s x y 1 + sτ x onde r, K, s, τ , c, d são constante positivas. Det...

Para encontrar os pontos de equilíbrio, precisamos igualar as derivadas a zero: x˙ = 0 => rx(1 - x/K) - sxy/(1 + sτy) = 0 y˙ = 0 => -cy + dsxy/(1 + sτy) = 0 A partir da primeira equação, podemos encontrar que x = 0 ou x = K - y/(sτy). Substituindo na segunda equação, temos: - cy + dsx(1 + sτy)/(sy) = 0 - cy + ds(K - y/(sτy))(1 + sτy)/(sy) = 0 - cy + dK(1 + sτy)/(sy) - dy/(sy) = 0 - cy(sτy + 1) + dK - dy/(y) = 0 - y(c(sτy + 1) - d) + dK = 0 A partir da última equação, podemos encontrar que y = 0 ou y = dK/(c(sτy + 1)). Substituindo na primeira equação, temos: Se y = 0, então x = 0 ou x = K. Se y = dK/(c(sτy + 1)), então x = 0 ou x = K - d/(rc(sτy + 1)). Portanto, os pontos de equilíbrio são (0,0), (K,0), (0, dK/(c(sτy + 1))) e (K - d/(rc(sτy + 1)), dK/(c(sτy + 1))). Para classificar os pontos de equilíbrio, podemos usar a matriz Jacobiana: J = [rx(1 - 2x/K) - s/(1 + sτy), -sxy/(1 + sτy)^2; dsy/(1 + sτy), dsx/(1 + sτy) - cy/(1 + sτy)^2] Avaliando a matriz Jacobiana em cada ponto de equilíbrio, temos: (0,0): J = [r, 0; 0, d], com autovalores r e d. Como ambos são positivos, o ponto de equilíbrio é instável. (K,0): J = [-r, -sK/(1 + sτK); 0, d], com autovalores -r e d. Como um autovalor é negativo e o outro é positivo, o ponto de equilíbrio é um ponto de sela. (0, dK/(c(sτy + 1))): J = [r, 0; 0, -c/(1 + sτy)], com autovalores r e -c/(1 + sτy). Como ambos são positivos, o ponto de equilíbrio é instável. (K - d/(rc(sτy + 1)), dK/(c(sτy + 1))): J = [-r, -s(K - d/(rc(sτy + 1)))/(1 + sτy), -sd/(rc(sτy + 1))^2, c/(1 + sτy) - ds(d/(rc(sτy + 1))^2)/(1 + sτy)^2], com autovalores complexos conjugados. Como a parte real dos autovalores é negativa, o ponto de equilíbrio é estável.