Considere o polinômio p(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6. O que podemos afirmar acerca de suas raízes? A Não tem raiz real. B Tem duas raízes reais e uma im...

Podemos utilizar o Teorema de Descartes para analisar o número de raízes reais e imaginárias do polinômio p(x). O número de raízes reais positivas é igual ao número de mudanças de sinal dos coeficientes do polinômio ou é menor que isso por um número par. O número de raízes reais negativas é igual ao número de mudanças de sinal dos coeficientes de p(-x) ou é menor que isso por um número par. No caso do polinômio p(x) = x³ - 2x² - 5x + 6, temos uma mudança de sinal entre o coeficiente -2x² e o coeficiente -5x, e outra mudança de sinal entre o coeficiente -5x e o coeficiente 6. Portanto, temos duas mudanças de sinal, o que significa que o polinômio tem duas raízes reais positivas ou nenhuma raiz real positiva. Analisando o polinômio p(-x) = -x³ - 2x² + 5x + 6, temos uma mudança de sinal entre o coeficiente -x³ e o coeficiente -2x², e outra mudança de sinal entre o coeficiente -2x² e o coeficiente 5x. Portanto, temos duas mudanças de sinal, o que significa que o polinômio tem duas raízes reais negativas ou nenhuma raiz real negativa. Como o número de raízes reais positivas é igual ou menor que o número de mudanças de sinal dos coeficientes de p(x), e o número de raízes reais negativas é igual ou menor que o número de mudanças de sinal dos coeficientes de p(-x), concluímos que o polinômio p(x) tem duas raízes reais ou nenhuma raiz real. Portanto, a alternativa correta é a letra A) Não tem raiz real.