10 - Sejam A, B e C eventos quaisquer. Mostre que P (A ∪B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C)− P (A ∩B)− P (A ∩ C)− P (B ∩ C) + P (A ∩B ∩ C).

Essa é uma questão de probabilidade que envolve a aplicação do Princípio da Inclusão-Exclusão. Para demonstrar a igualdade proposta, podemos seguir os seguintes passos: 1. Começamos com a definição de união de eventos: A ∪ B ∪ C é o evento que ocorre se pelo menos um dos eventos A, B ou C ocorrer. 2. Podemos reescrever a união de eventos como a soma das probabilidades dos eventos individuais menos as probabilidades das interseções entre dois eventos, mais as probabilidades das interseções entre três eventos: P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) 3. Para entender por que subtraímos as probabilidades das interseções entre dois eventos e adicionamos as probabilidades das interseções entre três eventos, podemos pensar em um exemplo simples. Suponha que estamos lançando dois dados e queremos saber a probabilidade de obter um 1 ou um 2 em pelo menos um dos dados. A probabilidade de obter um 1 no primeiro dado é 1/6, a probabilidade de obter um 2 no segundo dado é 1/6 e a probabilidade de obter um 1 e um 2 simultaneamente é 1/36. Se simplesmente somarmos as probabilidades, obteremos 1/6 + 1/6 = 1/3, o que está errado, pois estamos contando duas vezes o caso em que obtemos um 1 e um 2. Para corrigir isso, precisamos subtrair a probabilidade da interseção entre os eventos, que é 1/36. No entanto, agora estamos subtraindo demais, pois estamos subtraindo duas vezes a probabilidade de obter um 1 e um 2. Para corrigir isso, precisamos adicionar a probabilidade da interseção entre os três eventos, que é 1/36. 4. Portanto, a igualdade proposta é uma aplicação direta do Princípio da Inclusão-Exclusão, que é uma técnica geral para contar o número de elementos em uma união de conjuntos.