Sendo F e G subespaços de Rn , define-se a sua soma como sendo o conjunto F +G = {v + w : v ∈ F, w ∈ G} . Prove que: (a) F +G é um subespaço de Rn ...

Para provar que F + G é um subespaço de Rn, precisamos mostrar que ele satisfaz as três propriedades de um subespaço: (a) F + G é fechado sob adição: Sejam u, v ∈ F + G. Então, existem vetores x, y ∈ Rn tais que u = x + y e v = z + w, onde x, z ∈ F e y, w ∈ G. Então, u + v = (x + y) + (z + w) = (x + z) + (y + w), onde x + z ∈ F e y + w ∈ G, pois F e G são subespaços de Rn. Portanto, u + v ∈ F + G. (b) F + G é fechado sob multiplicação por escalar: Seja u ∈ F + G e α ∈ R. Então, existe um vetor x ∈ F e um vetor y ∈ G tais que u = x + y. Então, αu = α(x + y) = αx + αy, onde αx ∈ F e αy ∈ G, pois F e G são subespaços de Rn. Portanto, αu ∈ F + G. (c) F + G contém o vetor nulo: Como F e G são subespaços de Rn, eles contêm o vetor nulo 0. Então, 0 + 0 = 0 ∈ F + G. Portanto, F + G é um subespaço de Rn. Para provar que F + G contém F e G, basta notar que se x ∈ F e y ∈ G, então x + y ∈ F + G. Portanto, F ∪ G ⊆ F + G. Para provar que F + G é o menor subespaço de Rn que contém F ∪ G, precisamos mostrar que se H é um subespaço de Rn que contém F ∪ G, então F + G ⊆ H. Seja u ∈ F + G. Então, existem vetores x ∈ F e y ∈ G tais que u = x + y. Como H é um subespaço de Rn que contém F ∪ G, temos que x, y ∈ H. Portanto, u = x + y ∈ H. Logo, F + G ⊆ H. Portanto, F + G é o menor subespaço de Rn que contém F ∪ G.