103. Sendo F e G subespaços de Rn , define-se a sua soma como sendo o conjunto F +G = {v + w : v ∈ F, w ∈ G} . Prove que: (a) F +G é um subespaço d...

Para provar que F + G é um subespaço de Rn, precisamos mostrar que ele satisfaz as três condições para ser um subespaço: (a) Fechamento sob adição: Sejam u, v ∈ F + G. Então, existem x, y ∈ F e z, w ∈ G tais que u = x + z e v = y + w. Portanto, u + v = (x + z) + (y + w) = (x + y) + (z + w), que pertence a F + G, já que F e G são subespaços de Rn. (b) Fechamento sob multiplicação por escalar: Seja α um escalar e u ∈ F + G. Então, existem x ∈ F e y ∈ G tais que u = x + y. Portanto, αu = α(x + y) = αx + αy, que pertence a F + G, já que F e G são subespaços de Rn. (c) Contém o vetor nulo: Como F e G são subespaços de Rn, eles contêm o vetor nulo 0. Portanto, 0 = 0 + 0 ∈ F + G. Assim, F + G é um subespaço de Rn. Para provar que F + G contém F e G, basta notar que, se x ∈ F e y ∈ G, então x + y ∈ F + G. Portanto, F ∪ G ⊆ F + G. Para provar que F + G é o menor subespaço de Rn que contém F ∪ G, precisamos mostrar que qualquer subespaço H que contém F ∪ G também contém F + G. Seja H um subespaço de Rn que contém F ∪ G. Então, para todo x ∈ F e y ∈ G, temos x + y ∈ H, já que H é fechado sob adição. Portanto, F + G ⊆ H. Assim, provamos que F + G é um subespaço de Rn, contém F e G, e é o menor subespaço que contém F ∪ G.