Considere os seguintes vectores de R4: v1 = (1, 0, 1, 0), v2 = (1,−1, 1,−1), v3 = (−2, 0, 1, 2) e v4 = (3,−1, 3,−1) . (a) Mostre que v1 , v2 , v3 s...

(a) Para mostrar que v1, v2 e v3 são linearmente independentes, precisamos mostrar que a única combinação linear que resulta no vetor nulo é a combinação linear trivial. Ou seja, precisamos mostrar que a equação a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0 só tem solução quando a1 = a2 = a3 = 0. Substituindo os valores dos vetores, temos: a1(1, 0, 1, 0) + a2(1, -1, 1, -1) + a3(-2, 0, 1, 2) = (0, 0, 0, 0) Isso nos dá o seguinte sistema de equações: a1 + a2 - 2a3 = 0 -a2 = 0 a1 + a2 + a3 = 0 -a2 + 2a3 = 0 A segunda equação nos dá a2 = 0. Substituindo na primeira e na terceira equações, temos: a1 - 2a3 = 0 a1 + a3 = 0 Isso nos dá a solução a1 = a3 = 0. Substituindo na quarta equação, temos: 0 = 0 Portanto, a única solução é a combinação linear trivial, o que significa que v1, v2 e v3 são linearmente independentes. (b) Para mostrar que v1, v2 e v4 são linearmente dependentes, precisamos mostrar que existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor nulo. Ou seja, precisamos encontrar valores de a1, a2 e a4 que não sejam todos iguais a zero e que satisfaçam a equação a1v1 + a2v2 + a4v4 = 0. Substituindo os valores dos vetores, temos: a1(1, 0, 1, 0) + a2(1, -1, 1, -1) + a4(3, -1, 3, -1) = (0, 0, 0, 0) Isso nos dá o seguinte sistema de equações: a1 + a2 + 3a4 = 0 -a2 - a4 = 0 a1 + a2 + 3a4 = 0 -a2 - a4 = 0 A segunda equação nos dá a2 = -a4. Substituindo na primeira e na terceira equações, temos: a1 + 2a4 = 0 a1 + 2a4 = 0 Isso nos dá a solução a1 = -2a4. Substituindo na segunda equação, temos: -a2 - a4 = 0 Substituindo a2 = -a4, temos: a4 - a4 = 0 Portanto, a única solução não trivial é a4 ≠ 0 e a1 = -2a4, o que significa que v1, v2 e v4 são linearmente dependentes.