9.20. Teorema de la base incompleta 1. Dados los vectores de R4, v1 = (2,−1, 3, 4) y v2 = (0, 5, 1,−1), completarlos con otros dos para formar una ...

9.20. Teorema de la base incompleta 1. Dados los vectores de R4, v1 = (2,−1, 3, 4) y v2 = (0, 5, 1,−1), completarlos con otros dos para formar una base de R4. 2. Sea B = {u1, . . . , ur, ur+1, . . . , un} base de un espacio vectorial E. De- mostrar que E = 〈u1, . . . , ur〉 ⊕ 〈ur+1, . . . , un〉. 3. En el espacio vectorial R4, hallar un subespacio suplementario de 〈(2,−1, 3, 4), (0, 5, 1,−1)〉. 4. Determinar los valores de a ∈ R para los cuales R4 = F ⊕G, siendo F = 〈(2, 1,−1, 1), (2, 3, 4,−0), (1, 1, 1, 1)〉 y G = 〈(2,−1, 3, a)〉. Solución. 1. Por conocidas propiedades de la dimensión, cuatro vectores linealmente independientes en un espacio vectorial de dimensión 4 forman base. Dado que el rango del sistema {v1, v2} claramente es 2, bastará añadir a v1 y v2, otros dos vectores v3 y v4 de tal manera que el rango del sistema {v1, v2, v3, v4} sea 4. Existen infinitas maneras de elegir v3 y v4. Por ejemplo, rg  2 −1 3 4 0 5 −1 1 0 0 1 0 0 0 1  = 4, en consecuencia, si v3 = (0, 0, 1, 0) y v4 = (0, 0, 0, 1) entonces,B = {v1, v2, v3, v4} es base de R4. 2. Llamemos F = 〈u1, . . . , ur〉 y G = 〈ur+1, . . . , un〉. Sea x ∈ F ∩G, entonces x ∈ F y x ∈ G, por tanto, ∃λ1, . . . , λr escalares : x = λ1u1 + · · ·+ λrur ∃λr+1, . . . , λn escalares : x = λr+1ur+1 + · · ·+ λnun.