33. (a) Verifique que as identidades algébricas (A+B)2 = A2 + 2AB +B2, (A−B)2 = A2 − 2AB +B2, (A+B)(A−B) = A2−B2 e (AB)2 = A2B2 nem sempre são verd...

(a) Para verificar que as identidades algébricas não são sempre verdadeiras quando A e B são matrizes, basta substituir as matrizes dadas nos exemplos fornecidos. Por exemplo, para i. temos: (A+B)² = [1+10 -100+12 2]² = [11 -88 16; -88 144 -240; 16 -240 4] A² + 2AB + B² = [1 -100 2][1 0 10; 0 1 12; 0 0 1][1 -100 2] = [101 -9800 202; -9800 10044 -1188; 202 -1188 4] Como as matrizes resultantes são diferentes, a identidade algébrica não é verdadeira para essas matrizes. (b) Para transformar os segundos membros das identidades em identidades sempre válidas para matrizes quadradas quaisquer da mesma ordem, basta substituir as operações de multiplicação por produtos de matrizes. Por exemplo, para (A+B)² temos: (A+B)² = (A+B)(A+B) = A(A+B) + B(A+B) = A² + AB + BA + B² Note que AB e BA não são necessariamente iguais, mas como A e B têm a mesma ordem, AB e BA têm a mesma ordem e podem ser somados. Portanto, temos: (A+B)² = A² + 2AB + B² De forma análoga, podemos transformar as outras identidades. (c) Se A e B verificam a primeira identidade algébrica, temos: (A+B)² = A² + 2AB + B² (A-B)² = A² - 2AB + B² Somando as duas equações, temos: 2A² + 2B² = 2A² + 2B² A² + B² = (A+B)(A-B) + (A-B)(B-A) A² + B² = (A+B)(A-B) - (A-B)(A-B) A² + B² = (A+B)(A-B) - (A-B)² Multiplicando ambos os lados por AB, temos: A²AB + B²AB = AB(A+B)(A-B) - AB(A-B)² A²B + B²A = AB(A² - B²) Substituindo AB por (AB)²/A², temos: A²B + B²A = (AB)²/A - B²AB/A A²B + B²A + B²AB/A = (AB)²/A A(B² + AB + BA) = (AB)² AB(B+A) = (AB)² ABAB = A²B² Portanto, temos: (AB)² = A²B² (A+B)(A-B) = A² - AB + BA - B² = A² - AB + AB - B² = A² - B² De forma análoga, podemos verificar as outras identidades.