173) - A raiz da equação tg2x ∙ senx − senx − tg2x+ 1 = 0 pertencente ao intervalo 0 < x < π/2 é: A) 5π/8 B) 3π/8 C) π/8 D) π E) Outro

Para resolver essa equação, podemos utilizar a identidade trigonométrica tg(2x) = (2tg(x))/(1-tg²(x)). Substituindo na equação, temos: (2tg(x)/(1-tg²(x))) ∙ sen(x) - sen(x) - (2tg(x)/(1-tg²(x))) + 1 = 0 Simplificando, temos: 2tg(x) ∙ sen(x) - 2tg²(x) ∙ sen(x) - sen(x) + 1 = 0 Reorganizando os termos, temos: 2tg(x) ∙ sen(x) - 2tg²(x) ∙ sen(x) = sen(x) - 1 Dividindo ambos os lados por sen(x), temos: 2tg(x) - 2tg²(x) = 1 - (1/sen(x)) Utilizando a identidade trigonométrica sen²(x) + cos²(x) = 1, temos: 1/sen(x) = (1 + cos²(x))/sen(x) = (1 + tg²(x)) Substituindo na equação, temos: 2tg(x) - 2tg²(x) = 1 - (1 + tg²(x)) Resolvendo para tg(x), temos: tg²(x) - 2tg(x) + 1 = 0 (tg(x) - 1)² = 0 tg(x) = 1 Portanto, a única solução da equação no intervalo 0 < x < π/2 é x = π/4. No entanto, essa opção não está presente nas alternativas. Dentre as opções apresentadas, a mais próxima é a letra C) π/8, mas ela não é a resposta correta. Portanto, a alternativa correta é E) Outro.