5) Usando o método de Variáveis Separadas, a) Determine a solução do problema de valor ini-cial, b) Determine o intervalo em que a solução é...

Para resolver o problema de valor inicial usando o método de variáveis separadas, precisamos separar as variáveis y e x e integrar ambos os lados da equação. 1. y′ = (1− 2x)y2, y(0) = −1/6; Separando as variáveis, temos: y′/y² = 1-2x Integrando ambos os lados, temos: -1/y = x - x² + C Resolvendo para y, temos: y = -1/(x - x² + C) Usando a condição inicial, temos: -1/6 = -1/(0 - 0² + C) C = -5/6 Portanto, a solução do problema de valor inicial é: y = -1/(x - x² - 5/6) Para determinar o intervalo em que a solução é válida, precisamos verificar se ocorrem singularidades na solução. Nesse caso, a solução é válida para todos os valores de x que não tornam o denominador igual a zero. Portanto, a solução é válida para todos os valores de x em que x - x² - 5/6 ≠ 0. Resolvendo a equação, temos: x² - x + 5/6 ≠ 0 Usando a fórmula de Bhaskara, temos: Δ = (-1)² - 4(1)(5/6) < 0 Portanto, a equação não tem raízes reais e a solução é válida para todos os valores de x. Para descrever o comportamento da solução quando t se aproxima das extremidades do intervalo, precisamos analisar o comportamento da função quando x → ±∞. Nesse caso, podemos usar a regra de L'Hôpital para calcular o limite da função. Temos: lim y(x) = lim -1/(x - x² - 5/6) = 0 x → ±∞ x → ±∞ Portanto, a solução se aproxima de zero quando x se aproxima de ±∞.