Calcule o volume dado por ∫ 1 0 ∫ 2 1 yexy dxdy : Solução . V = ∫ 1 0 ∫ 2 1 yexydx dxdy = ∫ 1 0 β(x) dy Onde β(x) = ∫ 2 1 yexy dx Tome u = xy → d...

O volume dado pela integral dupla ∫∫R yexy dA, onde R é a região delimitada pelas curvas y = 1, y = 2, x = 0 e x = 1, pode ser calculado da seguinte forma: ∫∫R yexy dA = ∫1^2 ∫0^1 yexy dxdy Fazendo a mudança de variáveis u = xy, temos que: du/dx = y dy/dx = 1/x dy = (1/x)dx Assim, a integral pode ser reescrita como: ∫∫R yexy dA = ∫1^2 ∫0^1 yexy dxdy = ∫1^2 ∫0^2y eu/x (1/x) dudx = ∫1^2 ∫0^2y eu/x du dx = ∫1^2 [eu]2y0 dx = ∫1^2 e2y - e^y dx = [1/2 e2y - ey]1^2 = 1/2 (e^2 - e) - 1/2 (e - 1) = 1/2 (e^2 - 2e + 1) = 1/2 (e - 1)^2 Portanto, o volume é igual a 1/2 (e - 1)^2.