A integral imprópria ∫∞ 0 e−x2 dx importante na teoria da probabilidade e em outras partes da Matemática. Calcularemos seu valor com um artif́ıci...

Sim, a integral ∫∞ 0 e^(-x^2) dx é importante na teoria da probabilidade e em outras áreas da matemática. Para calcular seu valor, podemos usar um artifício inteligente que envolve uma integral dupla imprópria em coordenadas polares. Primeiro, vamos considerar a integral dupla imprópria em coordenadas retangulares: ∬R e^(-x^2-y^2) dA Onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelos eixos x e y e pela curva y = x. Podemos reescrever essa integral em coordenadas polares, substituindo x = r cos(θ) e y = r sin(θ): ∫π/2 0 ∫∞ 0 e^(-r^2) r dr dθ A integral interna é fácil de resolver: ∫∞ 0 e^(-r^2) r dr = -1/2 e^(-r^2) |∞ 0 = 1/2 Substituindo na integral dupla: ∫π/2 0 ∫∞ 0 e^(-r^2) r dr dθ = ∫π/2 0 1/2 dθ = π/4 Portanto, a integral ∫∞ 0 e^(-x^2) dx é igual a √(π)/2.