Qual é a equação da hipérbole centrada na origem com um foco no ponto (10,0) e cuja excentricidade é igual a 5 over 3. A) fraction numerator x ² ...

Vamos analisar as opções: A) \( \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{64} = 1 \) B) \( \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{64} = 1 \) C) \( \frac{x^2}{6} - \frac{y^2}{8} = 1 \) D) \( \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{100} = 1 \) E) \( \frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{36} = 1 \) A equação da hipérbole centrada na origem com um foco no ponto (10,0) e cuja excentricidade é igual a \( \frac{5}{3} \) é dada por \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \), onde \( a \) e \( b \) são os semieixos da hipérbole e \( c \) é a distância do centro até o foco, relacionada pela equação \( c^2 = a^2 + b^2 \). A excentricidade é dada por \( e = \frac{c}{a} \), onde \( e = \frac{5}{3} \) e \( c = 10 \). Podemos usar essas informações para encontrar \( a \) e \( b \). Calculando \( a \): \( e = \frac{c}{a} \) \( \frac{5}{3} = \frac{10}{a} \) \( a = \frac{10 \times 3}{5} \) \( a = 6 \) Agora, podemos encontrar \( b \): \( c^2 = a^2 + b^2 \) \( 10^2 = 6^2 + b^2 \) \( 100 = 36 + b^2 \) \( b^2 = 100 - 36 \) \( b^2 = 64 \) \( b = \sqrt{64} \) \( b = 8 \) Portanto, a equação correta da hipérbole é a opção: A) \( \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{64} = 1 \)