Sendo A(1,0,1), B(2,-1,1), C(-1,0,2), D(3,2,2) vértices de um tetrae- dro, pede-se: (a) Equações paramétricas da reta r, suporte da altura hD d...

(a) Para encontrar a equação paramétrica da reta r, suporte da altura hD do tetraedro de base ABC relativa ao vértice D, precisamos encontrar um ponto na reta r e um vetor diretor da reta r. Um ponto na reta r é o próprio vértice D, ou seja, D(3,2,2). Para encontrar o vetor diretor da reta r, precisamos encontrar um vetor perpendicular ao plano ABC. Para isso, podemos calcular o vetor AB e o vetor AC e fazer o produto vetorial entre eles: AB = B - A = (2, -1, 1) - (1, 0, 1) = (1, -1, 0) AC = C - A = (-1, 0, 2) - (1, 0, 1) = (-2, 0, 1) AB x AC = (1, -1, 0) x (-2, 0, 1) = (-1, -2, 2) O vetor (-1, -2, 2) é perpendicular ao plano ABC e, portanto, é paralelo à reta r. Assim, podemos usar esse vetor como vetor diretor da reta r. Portanto, a equação paramétrica da reta r é: x = 3 - t y = 2 - 2t z = 2 + 2t (b) Para encontrar a equação paramétrica da mediana relativa ao vértice C do triângulo ABC, precisamos encontrar o ponto médio do lado oposto ao vértice C e o próprio vértice C. O ponto médio do lado oposto ao vértice C é o ponto médio de AB, que é dado por: M = (A + B)/2 = ((1, 0, 1) + (2, -1, 1))/2 = (3/2, -1/2, 1) O vértice C é dado por C(-1, 0, 2). Assim, o vetor diretor da mediana relativa ao vértice C é dado por: MC = C - M = (-1, 0, 2) - (3/2, -1/2, 1) = (-5/2, 1/2, 1) Portanto, a equação paramétrica da mediana relativa ao vértice C é: x = -1 + 5/2t y = 1/2t z = 2 + t