Ao aos eixos ou planos coordenados, que passa pelo ponto médio do segmento AB e que tem −→v como vetor diretor: a) A(−1,− 2,− 3), B(1,3,5) e −→v =...

Para encontrar o plano coordenado que passa pelo ponto médio do segmento AB e tem o vetor diretor →v, podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar o ponto médio do segmento AB: - Para isso, podemos usar a fórmula: Pm = [(xa + xb)/2, (ya + yb)/2, (za + zb)/2] onde (xa, ya, za) e (xb, yb, zb) são as coordenadas dos pontos A e B, respectivamente. - Substituindo os valores, temos: Pm = [(-1+1)/2, (-2+3)/2, (-3+5)/2] = [0, 0.5, 1] 2. Escrever a equação do plano coordenado: - Sabemos que um plano coordenado pode ser escrito na forma geral: ax + by + cz + d = 0 onde (a, b, c) é o vetor normal ao plano e d é uma constante. - Como o plano passa pelo ponto médio Pm, podemos substituir suas coordenadas na equação acima e obter: a*0 + b*0.5 + c*1 + d = 0 o que simplifica para: 0.5b + c + d = 0 3. Encontrar o vetor normal ao plano: - Sabemos que o vetor normal ao plano é perpendicular a →v e, portanto, pode ser obtido pelo produto vetorial entre →v e um vetor qualquer que esteja no plano. - Um vetor que está no plano é →AB, que pode ser obtido pela diferença entre as coordenadas de A e B: →AB = (1-(-1), 3-(-2), 5-(-3)) = (2, 5, 8) - Calculando o produto vetorial entre →v e →AB, temos: →n = →v x →AB = (2,0,3) x (2,5,8) = (-15, 4, 10) 4. Escrever a equação final do plano coordenado: - Substituindo as coordenadas do vetor normal e do ponto médio na equação geral do plano, temos: -15x + 4y + 10z + d = 0 Substituindo as coordenadas de Pm, temos: -15*0 + 4*0.5 + 10*1 + d = 0 o que simplifica para: d = -9 - Portanto, a equação final do plano coordenado é: -15x + 4y + 10z - 9 = 0 Resposta: Letra A) A equação do plano coordenado é -15x + 4y + 10z - 9 = 0.