Utilize a transformada de Laplace e a transformada inversa de Laplace para determinar a solução da seguinte equação diferencial com as suas condiçõ...

Vamos utilizar a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada: Começamos aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação: L{y''} + 4L{y'} + 4L{y} = L{e^(-t)} Usando as propriedades da transformada de Laplace, temos: s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + 4s Y(s) - 4 y(0) + 4 Y(s) = 1 / (s + 1) Substituindo as condições iniciais, temos: s^2 Y(s) + 4s Y(s) + 4 Y(s) - 1 = 1 / (s + 1) Simplificando, temos: Y(s) = 1 / (s^2 + 4s + 5) = 1 / [(s + 2)^2 + 1] Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace de Y(s). Podemos fazer isso usando a tabela de transformadas de Laplace ou a técnica de frações parciais. Vamos usar a técnica de frações parciais: Y(s) = 1 / [(s + 2)^2 + 1] = A / (s + 2) + B / [(s + 2)^2 + 1] Multiplicando ambos os lados por [(s + 2)^2 + 1], temos: 1 = A[(s + 2)^2 + 1] + B(s + 2) Substituindo s = -2, temos: 1 = B(0) B = 1 Substituindo B na equação acima, temos: 1 = A(1 + 1) A = 1/2 Portanto, temos: Y(s) = 1/2 / (s + 2) + 1 / [(s + 2)^2 + 1] Agora, podemos encontrar a transformada inversa de Laplace de Y(s) usando a tabela de transformadas de Laplace: y(t) = 1/2 e^(-2t) cos(t) Portanto, a solução da equação diferencial dada com as condições iniciais é: y(t) = 1/2 e^(-2t) cos(t), t >= 0