Qual é o valor de \(Ivec(G}(O)) para que a função \(\vec(G} (t) =Veft angle\frac(e^2)(t+1), \fracf\sart(t+1)-1Ht), \frac(2 \operatorname(sen) t){t)...

Para que a função \(\vec{G}(t) = \left\langle \frac{e^2}{t+1}, \frac{\sqrt{t+1}-1}{t}, \frac{2\sin t}{t} \right\rangle\) seja contínua em \(t=0\), é necessário que o limite da função exista quando \(t\) se aproxima de \(0\). Assim, para encontrar o valor de \(\vec{G}(0)\), basta calcular o limite da função quando \(t\) se aproxima de \(0\). Calculando o limite, temos: \begin{align*} \lim_{t \to 0} \vec{G}(t) &= \lim_{t \to 0} \left\langle \frac{e^2}{t+1}, \frac{\sqrt{t+1}-1}{t}, \frac{2\sin t}{t} \right\rangle \\ &= \left\langle \lim_{t \to 0} \frac{e^2}{t+1}, \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t+1}-1}{t}, \lim_{t \to 0} \frac{2\sin t}{t} \right\rangle \\ &= \left\langle e^2, \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t+1}-1}{t}, 2 \right\rangle \\ &= \left\langle e^2, \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t+1}-1}{t} \cdot \frac{\sqrt{t+1}+1}{\sqrt{t+1}+1}, 2 \right\rangle \\ &= \left\langle e^2, \lim_{t \to 0} \frac{t+1-1}{t(\sqrt{t+1}+1)}, 2 \right\rangle \\ &= \left\langle e^2, \lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{t+1}+1}, 2 \right\rangle \\ &= \left\langle e^2, \frac{1}{2}, 2 \right\rangle \\ &= \left\langle \frac{e^2}{2}, \frac{1}{2}, 2 \right\rangle \end{align*} Portanto, o valor de \(\vec{G}(0)\) é \(\left\langle \frac{e^2}{2}, \frac{1}{2}, 2 \right\rangle\).