Um objeto percorre uma curva definida pela função \(\vec{F}(u)=\left\(\begin{array)0}x=1+u^2 || y=u^3+3, u geq 0 1\ z=u^2+5\end{array)\right.\). As...

Primeiramente, precisamos encontrar a equação da curva no ponto \((2,4,6)\). Para isso, precisamos encontrar o valor de \(u\) que satisfaz as equações: \begin{align*} 2 &= 1 + u^2 \\ 4 &= u^3 + 3 \\ 6 &= u^2 + 5 \end{align*} A primeira equação nos dá \(u^2 = 1\), e como \(u \geq 0\), temos \(u = 1\). Substituindo \(u = 1\) nas outras equações, obtemos: \begin{align*} x &= 1 + u^2 = 2 \\ y &= u^3 + 3 = 4 \\ z &= u^2 + 5 = 6 \end{align*} Portanto, o ponto na curva correspondente a \((2,4,6)\) é \((2,4,6)\). Para encontrar a componente normal da aceleração nesse ponto, precisamos calcular a aceleração e decompor em suas componentes tangencial e normal. A aceleração é dada por: \begin{align*} \vec{a} &= \frac{d^2\vec{F}}{du^2} \\ &= \frac{d}{du}\left(\begin{array}{c} 2u \\ 3u^2 \\ 2u \end{array}\right) \\ &= \left(\begin{array}{c} 2 \\ 6u \\ 0 \end{array}\right) \end{align*} Substituindo \(u = 1\), obtemos \(\vec{a} = (2,6,0)\). A componente tangencial da aceleração é dada por \(\vec{a}_T = \frac{\vec{a} \cdot \vec{T}}{\lVert \vec{T} \rVert} \vec{T}\), onde \(\vec{T}\) é o vetor tangente à curva no ponto \((2,4,6)\). O vetor tangente é dado por: \begin{align*} \vec{T} &= \frac{d\vec{F}}{du} \\ &= \left(\begin{array}{c} 2u \\ 3u^2 \\ 2u \end{array}\right) \end{align*} Substituindo \(u = 1\), obtemos \(\vec{T} = (2,3,2)\). Calculando a componente tangencial, temos: \begin{align*} \vec{a}_T &= \frac{\vec{a} \cdot \vec{T}}{\lVert \vec{T} \rVert} \vec{T} \\ &= \frac{(2,6,0) \cdot (2,3,2)}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 2^2}} (2,3,2) \\ &= \frac{20}{\sqrt{17}} (2,3,2) \\ &= \left(\frac{40}{\sqrt{17}}, \frac{60}{\sqrt{17}}, \frac{40}{\sqrt{17}}\right) \end{align*} A componente normal da aceleração é dada por \(\vec{a}_N = \vec{a} - \vec{a}_T\). Substituindo os valores, temos: \begin{align*} \vec{a}_N &= \vec{a} - \vec{a}_T \\ &= (2,6,0) - \left(\frac{40}{\sqrt{17}}, \frac{60}{\sqrt{17}}, \frac{40}{\sqrt{17}}\right) \\ &= \left(\frac{2\sqrt{17}-40}{\sqrt{17}}, \frac{6\sqrt{17}-60}{\sqrt{17}}, -\frac{40}{\sqrt{17}}\right) \end{align*} Portanto, a componente normal da aceleração no ponto \((2,4,6)\) é \(\boxed{-\frac{40}{\sqrt{17}}}.\)