Um objeto percorre uma curva definida pela função \(\vec{F}(u)=\left\{begin{array}{I}x=1+u^2 \\ y=u^3+3, u\geq 0 \\ z=u^2+5\end{array}\right.\). As...

Para encontrar a componente normal da aceleração no ponto \((2,4,6)\), precisamos primeiro encontrar a aceleração e o vetor normal à curva nesse ponto. Podemos encontrar a aceleração usando a fórmula \(\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}\), onde \(\vec{v}\) é o vetor velocidade. Podemos encontrar o vetor velocidade usando a fórmula \(\vec{v}=\frac{d\vec{F}}{dt}\). Começando com a função \(\vec{F}(u)\), podemos encontrar as derivadas parciais em relação a \(u\): \(\frac{\partial \vec{F}}{\partial u}=\left\{\begin{array}{I}2u \\ 3u^2 \\ 2u\end{array}\right.\) Podemos usar essas derivadas para encontrar o vetor velocidade: \(\vec{v}=\frac{d\vec{F}}{dt}=\frac{\partial \vec{F}}{\partial u}\frac{du}{dt}=\frac{\partial \vec{F}}{\partial u}\vec{v}\) Para encontrar \(\frac{du}{dt}\), podemos usar a relação \(u=\sqrt{x-1}\) e a regra da cadeia: \(\frac{du}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}\frac{dx}{dt}=\frac{2u}{2u}=\) Portanto, \(\vec{v}=\frac{\partial \vec{F}}{\partial u}\vec{v}=\left\{\begin{array}{I}2u \\ 3u^2 \\ 2u\end{array}\right.\) Agora podemos encontrar a aceleração: \(\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{\partial \vec{v}}{\partial u}\frac{du}{dt}=\left\{\begin{array}{I}2 \\ 6u \\ 2\end{array}\right.\) Para encontrar o vetor normal à curva no ponto \((2,4,6)\), podemos usar o produto vetorial entre \(\vec{v}\) e \(\vec{a}\): \(\vec{n}=\vec{v}\times\vec{a}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 27 & 4 \\ 2 & 12 & 2\end{array}\right|=\left\{\begin{array}{I}-100 \\ 8 \\ 60\end{array}\right.\) Finalmente, podemos encontrar a componente normal da aceleração no ponto \((2,4,6)\) projetando \(\vec{a}\) no vetor normal: \(a_n=\frac{\vec{a}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}=\frac{\left\{\begin{array}{I}2 \\ 6u \\ 2\end{array}\right.\cdot\left\{\begin{array}{I}-100 \\ 8 \\ 60\end{array}\right.\}{\left|\left\{\begin{array}{I}-100 \\ 8 \\ 60\end{array}\right.\right|}=\frac{116}{10}=\boxed{11,6}\)