Um objeto percorre uma curva definida pela função \(\vec{F} (u)=\left\{\begin{array} {l}x=1+u^2 \\ y=u^3 3, u \geq 0 \\ z=u^2 5\end{array}\right.\)...

Primeiramente, precisamos encontrar a equação da curva no ponto dado. Para isso, vamos substituir os valores de x, y e z na função \(\vec{F}(u)\) e resolver para u: \(x = 1 + u^2 \Rightarrow u^2 = x - 1\) \(y = u^3 3 \Rightarrow u = \sqrt[3]{\frac{y}{3}}\) \(z = u^2 5 \Rightarrow u = \sqrt{\frac{z}{5}}\) Igualando as duas expressões para u, temos: \(\sqrt[3]{\frac{y}{3}} = \sqrt{\frac{z}{5}} \Rightarrow \frac{y}{27} = \frac{z}{25} \Rightarrow y = \frac{27}{25}z\) Agora, vamos calcular a velocidade e a aceleração da curva: \(\vec{v}(u) = \frac{d\vec{F}}{du} = \left\{\begin{array} {l}x'=2u \\ y'=3u^2 \\ z'=10u\end{array}\right.\) \(\vec{a}(u) = \frac{d\vec{v}}{du} = \left\{\begin{array} {l}x''=2 \\ y''=6u \\ z''=10\end{array}\right.\) Substituindo o valor de u que corresponde ao ponto dado (2, 4, 6), temos: \(\vec{v}(2) = \left\{\begin{array} {l}x'=4 \\ y'=12 \\ z'=20\end{array}\right.\) \(\vec{a}(2) = \left\{\begin{array} {l}x''=2 \\ y''=12 \\ z''=10\end{array}\right.\) A componente normal da aceleração é dada por: \(a_n = \frac{\vec{a} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|}\) Onde \(\vec{n}\) é o vetor normal à curva no ponto dado. Para encontrá-lo, podemos calcular o vetor tangente à curva e, em seguida, o vetor normal como o produto vetorial entre o vetor tangente e o vetor binormal. \(\vec{T}(2) = \frac{\vec{v}(2)}{|\vec{v}(2)|} = \frac{1}{\sqrt{170}}\left\{\begin{array} {l}4 \\ 12 \\ 20\end{array}\right.\) \(\vec{B}(2) = \frac{\vec{T}'(2)}{|\vec{T}'(2)|} = \frac{1}{\sqrt{170}}\left\{\begin{array} {l}-\frac{4}{\sqrt{17}} \\ \frac{1}{\sqrt{17}} \\ \frac{2}{\sqrt{17}}\end{array}\right.\) \(\vec{n}(2) = \vec{T}(2) \times \vec{B}(2) = \frac{1}{\sqrt{170}}\left\{\begin{array} {l}-\frac{44}{\sqrt{17}} \\ -\frac{8}{\sqrt{17}} \\ \frac{16}{\sqrt{17}}\end{array}\right.\) Substituindo os valores na fórmula da componente normal da aceleração, temos: \(a_n = \frac{\vec{a}(2) \cdot \vec{n}(2)}{|\vec{n}(2)|} = \frac{1}{\sqrt{17}}\left(\frac{2(-44)}{\sqrt{17}} + \frac{12(-8)}{\sqrt{17}} + \frac{10(16)}{\sqrt{17}}\right) \approx -5,88\) Portanto, a alternativa correta é a letra E) -5,88.