Um objeto percorre uma curva definida pela função \(\vec{F}(u)=\left\{\begin{array}{I}x=1+u^2 \\ y=u^3+3, u \geq 0 \\ z=u^2+5\end{array}\right.\). ...

Para encontrar a componente normal da aceleração no ponto \((2,4,6)\), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a velocidade do objeto no ponto \((2,4,6)\). 2. Encontrar a aceleração do objeto no ponto \((2,4,6)\). 3. Decompor a aceleração em suas componentes tangencial e normal. 4. Encontrar o valor da componente normal da aceleração. Vamos começar encontrando a velocidade do objeto no ponto \((2,4,6)\). Para isso, precisamos calcular a derivada da função \(\vec{F}(u)\) em relação a \(u\): \[\vec{F}'(u) = \left\{\begin{array}{I}x'=2u \\ y'=3u^2 \\ z'=2u\end{array}\right.\] A velocidade do objeto no ponto \((2,4,6)\) é dada por \(\vec{v} = \vec{F}'(u)\) em que \(u\) é o valor que faz \(\vec{F}(u) = (2,4,6)\). Para encontrar esse valor, precisamos resolver o sistema de equações: \[\begin{cases}1+u^2=2 \\ u^3+3=4 \\ u^2+5=6\end{cases}\] A solução desse sistema é \(u=1\), portanto, o objeto está passando pelo ponto \((2,4,6)\) quando \(u=1\). Substituindo \(u=1\) na função \(\vec{F}(u)\), obtemos: \[\vec{F}(1) = (2,4,6)\] Portanto, a velocidade do objeto no ponto \((2,4,6)\) é dada por: \[\vec{v} = \vec{F}'(1) = (2,3,2)\] Agora, vamos encontrar a aceleração do objeto no ponto \((2,4,6)\). Para isso, precisamos calcular a derivada da velocidade em relação ao tempo: \[\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d\vec{v}}{du} \cdot \frac{du}{dt}\] A primeira parte dessa equação é a derivada da velocidade em relação a \(u\): \[\frac{d\vec{v}}{du} = \left\{\begin{array}{I}x''=2 \\ y''=6u \\ z''=2\end{array}\right.\] A segunda parte é a derivada de \(u\) em relação ao tempo, que é a velocidade escalar do objeto: \[v_s = |\vec{v}| = \sqrt{2^2+3^2+2^2} = \sqrt{17}\] Portanto, a aceleração do objeto no ponto \((2,4,6)\) é dada por: \[\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{du} \cdot \frac{du}{dt} = \left\{\begin{array}{I}x''=2 \\ y''=6u \\ z''=2\end{array}\right.\cdot \frac{d}{dt}\left(\frac{ds}{du}\right) = \left\{\begin{array}{I}x''=2 \\ y''=6 \\ z''=2\end{array}\right.\cdot v_s' = \left\{\begin{array}{I}x''=2 \\ y''=6 \\ z''=2\end{array}\right.\cdot a_s\] em que \(a_s\) é a aceleração escalar do objeto. Como a velocidade escalar é constante, temos que \(a_s = 0\), portanto, a aceleração do objeto no ponto \((2,4,6)\) é dada por: \[\vec{a} = (2,0,2)\] Finalmente, vamos decompor a aceleração em suas componentes tangencial e normal. A componente tangencial é paralela à velocidade do objeto e a componente normal é perpendicular à velocidade. Como a velocidade do objeto no ponto \((2,4,6)\) é \((2,3,2)\), a componente tangencial da aceleração é dada por: \[\vec{a}_t = \frac{\vec{a} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2}\vec{v} = \frac{(2,0,2)\cdot(2,3,2)}{17}(2,3,2) = \frac{16}{17}(2,3,2)\] A componente normal da aceleração é dada por: \[\vec{a}_n = \vec{a} - \vec{a}_t = (2,0,2) - \frac{16}{17}(2,3,2) = \left(\frac{2}{17},-\frac{6}{17},\frac{2}{17}\right)\] Portanto, o valor da componente normal da aceleração no ponto \((2,4,6)\) é \(\frac{2}{17}\). A alternativa correta é a letra A.