questão 5 A área da região determinada pela interseção das desigualdades y> 3/2 x -3/2, y>-2/3x+5 e (x-3)² < 9 é:

Para resolver essa questão, precisamos encontrar os pontos de interseção das três desigualdades e, em seguida, calcular a área da região delimitada por esses pontos. Começando pela primeira desigualdade, temos: y > 3/2x - 3/2 Podemos reescrevê-la como: y - 3/2x > -3/2 y > 3/2x - 3/2 Agora, vamos analisar a segunda desigualdade: y > -2/3x + 5 Podemos reescrevê-la como: y + 2/3x > 5 y > -2/3x + 5 Por fim, vamos analisar a terceira desigualdade: (x - 3)² < 9 Podemos reescrevê-la como: -3 < x - 3 < 3 0 < x < 6 Agora, precisamos encontrar os pontos de interseção das três desigualdades. Para isso, podemos resolver o sistema formado pelas três desigualdades: y > 3/2x - 3/2 y > -2/3x + 5 0 < x < 6 Podemos começar encontrando o ponto de interseção das duas primeiras desigualdades: 3/2x - 3/2 = -2/3x + 5 9/2x = 13/2 x = 13/9 Substituindo esse valor de x na primeira desigualdade, temos: y > 3/2(13/9) - 3/2 y > 13/6 - 9/6 y > 2/3 Substituindo o valor de x na segunda desigualdade, temos: y > -2/3(13/9) + 5 y > -26/27 + 135/27 y > 109/27 Agora, precisamos verificar se o valor de x encontrado está dentro do intervalo 0 < x < 6. Como 0 < 13/9 < 6, podemos considerar esse valor de x. Portanto, os pontos de interseção das três desigualdades são: (13/9, 2/3) e (13/9, 109/27) Agora, podemos calcular a área da região delimitada por esses pontos. Essa área é dada por: A = ∫(2/3)^(109/27) [(-2/3)x + 5 - (3/2)x + (3/2)] dx, de x = 13/9 a x = 6 Resolvendo essa integral, encontramos: A = 49/6 Portanto, a área da região determinada pela interseção das desigualdades é 49/6.