Questão resolvida - Determine a área da região, no primeiro quadrante, determinada pelo gráfico de y2^(-x), o eixo x e à direita do eixo y - Cálculo II - MULTIVIX

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determine a área da região, no primeiro quadrante, determinada pelo gráfico de 
, o eixo x e à direita do eixo y.y = 2-x
 
Escolha uma opção:
 
∘ a. ln|2| u. a.
 
∘ b. 2ln|2| u. a.
 
∘ c. 2 u. a.ln|2|
 
∘ d. u. a.
2
ln|2|
 
∘ e. u. a.
1
ln|2|
 
Resolução:
 
Vamos, primeiro, contruir o gráfico da região. Temos que saber em que pontos a função toca 
os eixos x e y;
 
Se y = 0 0 = 2 , 2 = 0 Essa equação exponencial não tem solução em R, logo, a → -x -x →
função não toca o eixo x!
 
Se x = 0 y = 2 y = 2 y = 1→ -0 → 0 →
Agora, vamos substituir alguns valores na função para conhecer seu comportamento;
 
x = 5 y = 2 y = y = y = y ≅ 0, 031→ -5 →
1
25
→
1
25
→
1
32
→
 
x = 5 y = 2 y = y = y = y ≅ 0, 0078→ -7 →
1
27
→
1
27
→
1
128
→
 
Ou seja, quando x aumenta; y tende a zero!
 
x = -1 y = 2 y = 2 y = 2→ - -1( ) → 1 →
 
 
 
x = -3 y = 2 y = 2 y = 8→ - -3( ) → 3 →
 
x = -5 y = 2 y = 2 y = 32→ - -5( ) → 5 →
 
Com essas informações, é possível construir o gráfico da função e identificar a região R que 
se que queremos calcular a área;
 
 
Perceba que do lado esquerdo de y a área tende para o infinito, dessa forma, a integral que 
fornece a área da região é dada por:
 
A = 2 dxR
0
∫
+∞
-x
 
Ou seja, se trata de uma integral imprópria, para encontrar a solução, vamos mudar o limite 
de integração, fazendo a substituição;
 
a = +∞
Com isso, a integral fica;
 
A = 2 dx = 2 dxR
0
∫
+∞
-x
a
0
∫ -x
 
 
 
R
Vamos resolver a integral, primeiro, em sua forma indefinida, assim, temos;
 
2 dx, u = - x du = -dx -dx = du dx = -du∫ -x → → →
 
Assim, a integral fica;
 
2 dx = 2 - du = - 2 du = - 2 du = - 2 ln 2 = - 2 ln 2 + c∫ -x ∫ u ∫ u ∫ u u ( ) -x ( )
 
Voltando para a integral definida, fica;
 
A = 2 dx = -2 ln 2 = - 2 ln 2 - -2 ln 2 = - + 2 ln 2R
a
0
∫ -x -x ( )
a
0
-a( ) ( ) -0( ) ( )
ln 2
2
( )
a
0 ( )
 
A = - + 1 ⋅ ln 2 = - + ln 2R
ln 2
2
( )
a
( ))
ln 2
2
( )
a
( )
 
Mas : a = +∞, então;
 
A = - + ln 2 = - + ln 2 = - 0 + ln 2R
ln 2
2
( )
+∞
( )
ln 2
+∞
( )
( ) ( )
 
A = ln 2R ( )
 
 
(Resposta )