2.7 Determine todas as assíntotas (verticais, horizontais e oblíquas) da função f(x) = x+ 3 x . Solução: Temos que f(x) = x+ 3 x = x2 + 3 x , x 6= ...

2.7 Determine todas as assíntotas (verticais, horizontais e oblíquas) da função f(x) = x+ 3 x . Solução: Temos que f(x) = x+ 3 x = x2 + 3 x , x 6= 0. Assim, calculando o limite lim x→0+ x2 + 3 x temos que quando x tende a 0 por valores positivos, o numerador x2 + 3 tende a 3, isto é lim x→0+ x2 + 3 x = +∞ Analogamente, lim x→0− x2 + 3 x = −∞. Logo, x = 0 é assíntota vertical. Agora, calculando o limite seguinte utilizando L'Hôspital lim x→±∞ x2 + 3 x = lim x→±∞ 2x 1 = ±∞ isto é, o limite não existe e f não possui assíntotas horizontais. Para obtermos as assíntotas oblíquas y = mx+ h, consideremos lim x→+∞ [f(x)− (mx+ h)] = lim x→+∞ [ x2 + 3 x − (mx+ h) ] = 0 onde m = lim x→+∞ f(x) x = lim x→+∞ x2 + 3 x2 = lim x→+∞ 2x 2x = 1. Observe também que quando x→ −∞, m = 1. Então, lim x→+∞ [ x2 + 3 x − (x+ h) ] = 0⇒ h = lim x→+∞ 3 x = 0. Logo, a reta y = x é assíntota oblíqua de f . Veja o grá�co: