seja a parabola da equação 8y² +32y = 2x+8. a reta x-4y+k = 0, k real,é tangente a esta parabola. determine o valor de k

Para determinar o valor de k, precisamos encontrar o ponto de tangência entre a reta e a parábola. Para isso, podemos seguir os seguintes passos: 1. Isolando o termo x na equação da parábola, temos: x = 4y² + 16y - 4. 2. Substituindo x e y na equação da reta, temos: 4y² + 16y - 4 - 4y.k = 0. 3. Como a reta é tangente à parábola, ela intersecta a parábola em apenas um ponto. Portanto, o discriminante da equação acima deve ser igual a zero: Δ = b² - 4ac = 0. 4. Substituindo os valores de a, b e c na equação acima, temos: (16k + 64)² - 4.4.(4 - k) = 0. 5. Resolvendo a equação acima, encontramos: k = -2 ou k = 3. Portanto, o valor de k pode ser -2 ou 3.