Calcule ∫ ∫s zds onde S é a superficie do solido limitado pelo cilindro x² +y² =1 e os planos z = 1 ex+z = 4. Α 8√2+5π B (33+8√2) C π(3 + √2) D 8√2...

Para calcular a integral ∫∫s zds, onde S é a superfície do sólido limitado pelo cilindro x² + y² = 1 e os planos z = 1 e z = 4 + x, podemos utilizar o Teorema de Divergência de Gauss. Primeiro, vamos encontrar o campo vetorial F associado à superfície S. Como a superfície é limitada pelo cilindro x² + y² = 1, podemos escrever F = (0, 0, z). Agora, vamos calcular a divergência de F: div F = ∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z = 0 + 0 + 1 = 1 Assim, podemos aplicar o Teorema de Divergência de Gauss: ∫∫s F . ds = ∫∫∫v div F dV onde v é o volume limitado pela superfície S. Para encontrar o volume v, podemos integrar a equação do plano z = 4 + x em relação a z: z = 4 + x z - x = 4 v = ∫∫R (4 - x) dxdy onde R é a região do plano xy limitada pelo cilindro x² + y² = 1. Podemos fazer a mudança de coordenadas para coordenadas polares: v = ∫0^2π ∫0^1 (4 - r cosθ) r dr dθ v = 2π ∫0^1 (4r - r² cosθ) dr v = 2π [2r² - (1/3)r³ cosθ] de 0 a 1 v = (8/3)π Agora, podemos calcular a integral original: ∫∫s z ds = ∫∫s F . ds = ∫∫∫v div F dV ∫∫s z ds = ∫∫∫v dV = (8/3)π Portanto, a alternativa correta é a letra D) 8√2.