Determine a solução particular da equação diferencial s ′′ − 6 s ′ + 9 s = 0 � ″ − 6 � ′ + 9 � = 0 que atenda à condição inicial s ( 0 ) = 2 � ( 0 ) = 2 e s ′ ( 0 ) = 8 � ′ ( 0 ) = 8 .

Question

Determine a solução particular da equação diferencial  s ′′ − 6 s ′ + 9 s = 0 � ″ − 6 � ′ + 9 � = 0  que atenda à condição inicial  s ( 0 ) = 2 � (...

Ed · Answer

Para resolver a equação diferencial $ s'' - 6s' + 9s = 0 $, primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea.

1. **Encontrar a equação característica**:
   A equação característica associada é:
   $$
   r^2 - 6r + 9 = 0
   $$
   Fatorando, temos:
   $$
   (r - 3)^2 = 0
   $$
   Portanto, $ r = 3 $ é uma raiz dupla.

2. **Solução geral**:
   A solução geral da equação diferencial é dada por:
   $$
   s(t) = C_1 e^{3t} + C_2 t e^{3t}
   $$
   onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

3. **Aplicar as condições iniciais**:
   Temos as condições:
   - $ s(0) = 2 $
   - $ s'(0) = 8 $

Primeiro, calculamos $ s(0) $:
   $$
   s(0) = C_1 e^{0} + C_2 \cdot 0 \cdot e^{0} = C_1
   $$
   Portanto, $ C_1 = 2 $.

Agora, precisamos calcular $ s'(t) $:
   $$
   s'(t) = 3C_1 e^{3t} + C_2 e^{3t} + 3C_2 t e^{3t}
   $$
   Avaliando em $ t = 0 $:
   $$
   s'(0) = 3C_1 + C_2
   $$
   Substituindo $ C_1 = 2 $:
   $$
   s'(0) = 3(2) + C_2 = 6 + C_2
   $$
   Igualando a $ 8 $:
   $$
   6 + C_2 = 8 \implies C_2 = 2
   $$

4. **Solução particular**:
   Substituindo $ C_1 $ e $ C_2 $ na solução geral, temos:
   $$
   s(t) = 2 e^{3t} + 2t e^{3t}
   $$

Portanto, a solução particular da equação diferencial que atende às condições iniciais é:
$$
s(t) = 2 e^{3t} + 2t e^{3t}
$$

Ed · Answer

A equação diferencial dada é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem, cuja equação característica é r^2 - 6r + 9 = 0, que pode ser fatorada como (r - 3)^2 = 0. Portanto, a solução geral da equação diferencial é s(t) = (c1 + c2*t)*e^(3*t), onde c1 e c2 são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Para encontrar a solução particular que atenda às condições iniciais s(0) = 2 e s'(0) = 8, podemos usar o método da variação das constantes. Nesse método, assumimos que as constantes c1 e c2 são funções do tempo, ou seja, c1 = u(t) e c2 = v(t). Substituindo essas funções na solução geral, temos s(t) = (u(t) + v(t)*t)*e^(3*t).

Agora, podemos calcular as derivadas de s(t) em relação ao tempo e substituir as condições iniciais para encontrar as funções u(t) e v(t). Temos:

s'(t) = (u'(t) + v'(t)*t + v(t))*e^(3*t) + 3*(u(t) + v(t)*t)*e^(3*t)
s''(t) = (u''(t) + v''(t)*t + 2*v'(t) + 3*v(t))*e^(3*t) + 6*(u'(t) + v'(t)*t + v(t))*e^(3*t)

Substituindo essas expressões na equação diferencial original, temos:

(u''(t) + v''(t)*t + 2*v'(t) + 3*v(t) - 6*u'(t) - 6*v'(t)*t - 6*v(t) + 9*(u(t) + v(t)*t))*e^(3*t) = 0

Igualando os coeficientes de e^(3*t) a zero, temos o sistema de equações:

u''(t) + v''(t)*t + 2*v'(t) + 3*v(t) - 6*u'(t) - 6*v'(t)*t - 6*v(t) + 9*u(t) = 0
u(0) + v(0)*0 = 2
u'(0) + v'(0)*0 + v(0) = 8

Resolvendo esse sistema, encontramos u(t) = 2*e^(3*t) e v(t) = 2*t*e^(3*t). Portanto, a solução particular da equação diferencial que atende às condições iniciais é:

s(t) = (2 + 2*t*t)*e^(3*t)

Portanto, a solução particular da equação diferencial s'' - 6s' + 9s = 0 que atende às condições iniciais s(0) = 2 e s'(0) = 8 é s(t) = (2 + 2*t*t)*e^(3*t).

Equações Diferenciais

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