Determine a solução particular da equação diferencial s ′′ − 6 s ′ + 9 s = 0 � ″ − 6 � ′ + 9 � = 0 que atenda à condição inicial s ( 0 ) = 2 � (...

A equação diferencial dada é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem, cuja equação característica é r^2 - 6r + 9 = 0, que pode ser fatorada como (r - 3)^2 = 0. Portanto, a solução geral da equação diferencial é s(t) = (c1 + c2*t)*e^(3*t), onde c1 e c2 são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais. Para encontrar a solução particular que atenda às condições iniciais s(0) = 2 e s'(0) = 8, podemos usar o método da variação das constantes. Nesse método, assumimos que as constantes c1 e c2 são funções do tempo, ou seja, c1 = u(t) e c2 = v(t). Substituindo essas funções na solução geral, temos s(t) = (u(t) + v(t)*t)*e^(3*t). Agora, podemos calcular as derivadas de s(t) em relação ao tempo e substituir as condições iniciais para encontrar as funções u(t) e v(t). Temos: s'(t) = (u'(t) + v'(t)*t + v(t))*e^(3*t) + 3*(u(t) + v(t)*t)*e^(3*t) s''(t) = (u''(t) + v''(t)*t + 2*v'(t) + 3*v(t))*e^(3*t) + 6*(u'(t) + v'(t)*t + v(t))*e^(3*t) Substituindo essas expressões na equação diferencial original, temos: (u''(t) + v''(t)*t + 2*v'(t) + 3*v(t) - 6*u'(t) - 6*v'(t)*t - 6*v(t) + 9*(u(t) + v(t)*t))*e^(3*t) = 0 Igualando os coeficientes de e^(3*t) a zero, temos o sistema de equações: u''(t) + v''(t)*t + 2*v'(t) + 3*v(t) - 6*u'(t) - 6*v'(t)*t - 6*v(t) + 9*u(t) = 0 u(0) + v(0)*0 = 2 u'(0) + v'(0)*0 + v(0) = 8 Resolvendo esse sistema, encontramos u(t) = 2*e^(3*t) e v(t) = 2*t*e^(3*t). Portanto, a solução particular da equação diferencial que atende às condições iniciais é: s(t) = (2 + 2*t*t)*e^(3*t) Portanto, a solução particular da equação diferencial s'' - 6s' + 9s = 0 que atende às condições iniciais s(0) = 2 e s'(0) = 8 é s(t) = (2 + 2*t*t)*e^(3*t).