Para determinar a integral indefinida da função \( f(x) = x \ln(x) + x (\ln(x))^2 \), podemos usar a técnica de integração por partes ou reconhecer que a função pode ser simplificada. Vamos analisar as alternativas: 1. \(\int f(x) dx = \frac{(x \ln(x))^2}{2} + c\) - Essa forma parece promissora, pois envolve \( x \ln(x) \). 2. \(\int f(x) dx = (\ln(x))^2 + 3 \ln(x) + 1 + c\) - Essa forma não parece se relacionar diretamente com a função original. 3. \(\int f(x) dx = \ln(x) + \frac{1}{x} + c\) - Essa forma é muito simples e não parece se relacionar com a função original. 4. \(\int f(x) dx = \frac{1}{4} x^3 \ln(x) (2 \ln(x) - 1) + c\) - Essa forma é complexa e não parece se relacionar diretamente com a função original. 5. \(\int f(x) dx = \frac{x^2(2 \ln(x) - 1)}{4} + c\) - Essa forma também parece complexa, mas pode ser uma simplificação. Após analisar as alternativas, a primeira opção, \(\int f(x) dx = \frac{(x \ln(x))^2}{2} + c\), é a que mais se alinha com a forma esperada da integral da função dada. Portanto, a resposta correta é: a).