Demonstre que o conjunto das matrizes 2x2 (M(2,2)) é um espaço vetorial. Sejam aER eu = (U11 U12 U21 U22. , v = (1112) Ε Μ (2,2). 22.

Para demonstrar que o conjunto das matrizes 2x2 (M(2,2)) é um espaço vetorial, precisamos verificar se ele satisfaz as dez propriedades de um espaço vetorial. 1. Adição de vetores: Para quaisquer matrizes A e B em M(2,2), a soma A + B também está em M(2,2). 2. Comutatividade da adição: Para quaisquer matrizes A e B em M(2,2), A + B = B + A. 3. Associatividade da adição: Para quaisquer matrizes A, B e C em M(2,2), (A + B) + C = A + (B + C). 4. Existência de vetor nulo: Existe uma matriz 2x2, chamada de matriz nula, tal que A + 0 = A para qualquer matriz A em M(2,2). 5. Existência de inverso aditivo: Para cada matriz A em M(2,2), existe uma matriz -A em M(2,2) tal que A + (-A) = 0. 6. Multiplicação por escalar: Para qualquer matriz A em M(2,2) e qualquer escalar k, o produto kA também está em M(2,2). 7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: Para quaisquer matrizes A e B em M(2,2) e qualquer escalar k, k(A + B) = kA + kB. 8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: Para qualquer matriz A em M(2,2) e quaisquer escalares k e l, (k + l)A = kA + lA. 9. Associatividade da multiplicação por escalar: Para qualquer matriz A em M(2,2) e quaisquer escalares k e l, (kl)A = k(lA). 10. Existência de elemento neutro da multiplicação por escalar: Para qualquer matriz A em M(2,2), 1A = A. Todas essas propriedades são satisfeitas pelas matrizes 2x2, portanto, M(2,2) é um espaço vetorial. Para demonstrar que u = (U11 U12 U21 U22) e v = (V11 V12 V21 V22) são vetores em M(2,2), precisamos verificar se eles satisfazem as propriedades de um espaço vetorial. 1. Adição de vetores: u + v = (U11+V11 U12+V12 U21+V21 U22+V22) está em M(2,2). 2. Comutatividade da adição: u + v = v + u. 3. Associatividade da adição: (u + v) + w = u + (v + w) para qualquer vetor w em M(2,2). 4. Existência de vetor nulo: Existe uma matriz 2x2, chamada de matriz nula, tal que u + 0 = u para qualquer vetor u em M(2,2). 5. Existência de inverso aditivo: Para cada vetor u em M(2,2), existe um vetor -u em M(2,2) tal que u + (-u) = 0. 6. Multiplicação por escalar: Para qualquer vetor u em M(2,2) e qualquer escalar k, o produto k.u também está em M(2,2). 7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: Para quaisquer vetores u e v em M(2,2) e qualquer escalar k, k(u + v) = ku + kv. 8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: Para qualquer vetor u em M(2,2) e quaisquer escalares k e l, (k + l)u = ku + lu. 9. Associatividade da multiplicação por escalar: Para qualquer vetor u em M(2,2) e quaisquer escalares k e l, (kl)u = k(lu). 10. Existência de elemento neutro da multiplicação por escalar: Para qualquer vetor u em M(2,2), 1u = u. Portanto, u e v são vetores em M(2,2).