As transformações lineares determinam soluções de equações diferenciais que modelam inúmeros problemas de todas as ordens nas ciências aplicadas (c...

a) A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço. Dada uma transformação linear A de E em F, podemos estender a noção de dimensão de E para F, definindo a dimensão da imagem de A como o número de vetores em uma base para a imagem de A. Isso é conhecido como a dimensão da imagem de A. b) Para que a imagem de um conjunto de dimensão m tenha dimensão m, é necessário que a transformação linear A seja injetora, ou seja, que o núcleo de A seja trivial (apenas o vetor nulo). Isso garante que não haja vetores em E que sejam mapeados para o mesmo vetor em F, o que preserva a dimensão do conjunto. c) Um exemplo de uma transformação que tem essa propriedade quando E é diferente de F é a projeção ortogonal de um espaço vetorial E em um subespaço F de dimensão m. A projeção ortogonal é uma transformação linear que mapeia cada vetor em E para o vetor em F que é a projeção ortogonal desse vetor em relação a uma base ortogonal de F. Como a projeção ortogonal é injetora, a imagem de um conjunto de dimensão m em E terá dimensão m em F.