determine o valor da integral (x+2y)dx dy sendo S a ÁREA definida pelas retas x+y-4=0,0

Para resolver essa integral, podemos utilizar o Teorema de Fubini, que nos permite integrar em uma ordem e depois na outra. Primeiro, vamos integrar em relação a x: ∫(x+2y)dx = (x²/2 + 2xy) + C Agora, vamos integrar em relação a y: ∫(x²/2 + 2xy)dy = (x²y/2 + xy²) + C Para encontrar os limites de integração, precisamos analisar a área S definida pelas retas x + y - 4 = 0 e x = 0. Podemos reescrever a equação da reta como y = -x + 4, o que nos dá os limites de integração para y de 0 a 4-x. Para x, os limites são de 0 a 4. Assim, a integral dupla fica: ∫∫S (x+2y) dxdy = ∫0^4 ∫0^(4-x) (x²y/2 + xy²) dy dx Resolvendo a integral, obtemos: ∫∫S (x+2y) dxdy = 64/3 Portanto, o valor da integral é 64/3.