Calcule o volume do sólido gerado pela revolução de R (região de área) a partir das equações y = x² e y = 2x, em torno do eixo y

Para calcular o volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo y, podemos utilizar o método de discos ou de arruelas. Vamos utilizar o método de discos, que consiste em integrar a área de seções transversais perpendiculares ao eixo de rotação. Primeiro, precisamos determinar os limites de integração. As equações y = x² e y = 2x se interceptam em x = 0 e x = 2. Portanto, os limites de integração são 0 e 2. Agora, vamos determinar a expressão da área da seção transversal em função de y. A seção transversal é um disco de raio R, que é a distância entre o eixo de rotação e a curva y = x². Podemos escrever R como R = x, já que a distância entre o eixo de rotação e a reta y = x é igual à distância entre o eixo de rotação e a curva y = x². Portanto, R = x. A área do disco é dada por A = πR². Substituindo R por x, temos A = πx². Agora, podemos integrar a área de seções transversais para obter o volume do sólido. Temos: V = ∫₀² πx² dy V = π ∫₀² x² dy V = π [y³/3]₀² V = π [(2)³/3 - (0)³/3] V = π (8/3) Portanto, o volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo y é (8/3)π.