termine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma. k=2 até infinito k^2/k^2-1

Para determinar se a série é convergente ou divergente, podemos utilizar o teste da razão. Calculando o limite da razão entre o termo geral a(n) e o termo anterior a(n-1), temos: lim (n → ∞) |(k^2/k^2-1)/(k-1)^2/(k-1)^2-1)| = lim (n → ∞) |k^2-1/k^2| = 1 Como o limite é igual a 1, o teste da razão é inconclusivo. Nesse caso, podemos utilizar o teste da integral para verificar a convergência ou divergência da série. Calculando a integral da função f(x) = x^2/x^2-1, temos: ∫(2 até ∞) x^2/x^2-1 dx = ∫(2 até ∞) 1 + 1/(x+1) - 1/(x-1) dx Aplicando a regra da linearidade da integral, temos: ∫(2 até ∞) x^2/x^2-1 dx = ∫(2 até ∞) 1 dx + ∫(2 até ∞) 1/(x+1) dx - ∫(2 até ∞) 1/(x-1) dx Resolvendo cada integral, temos: ∫(2 até ∞) x^2/x^2-1 dx = [x]2∞ + ln|x+1|2∞ - ln|x-1|2∞ Substituindo os limites de integração, temos: ∫(2 até ∞) x^2/x^2-1 dx = ∞ - 2 + ln(∞+1) - ln(3) - ln(∞-1) + ln(3) Simplificando, temos: ∫(2 até ∞) x^2/x^2-1 dx = ∞ - 2 + ln(∞+1) - ln(∞-1) Como a integral diverge, a série também diverge. Portanto, a resposta é: a série é divergente.