Séries - cálculo 2

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CÁLCULO 2 
SÉRIE DE 
POTÊNCIAS 
𝒇(𝒙) = ∑ 𝒄𝒏(𝒙 − 𝒂)
𝒏
∞
𝒏=𝟎
= 𝒄𝟎 + 𝒄𝟏(𝒙 − 𝒂) + ⋯ + 𝒄𝒏(𝒙 − 𝒂)
𝒏 + ⋯ 
𝒙 = 𝒗𝒂𝒓𝒊á𝒗𝒆𝒍; 𝒄𝒏 = 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆; 𝒂 = 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒂 𝒔é𝒓𝒊𝒆 
Intervalo de convergência: valores de x para os quais a série 
converge 
Raio de convergência: 
|𝐼𝑐|
2
 
Imagem: valores que a série assume para cada x 
DERIVADA SÉRIE 
DE POTÊNCIAS 
𝑑(𝑓(𝑥))
𝑑𝑥
= ∑
𝑑(𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛)
𝑑𝑥
∞
𝑛=0
= 𝑐1 + 2𝑐2(𝑥 − 𝑎) + ⋯ + 𝑛𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛−1 + ⋯ 
INTEGRAL DE 
SÉRIE DE 
POTÊNCIAS 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∑ ∫ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛
∞
𝑛=0
= 𝐶 + 𝑐0(𝑥 − 𝑎) + 𝑐1
(𝑥 − 𝑎)
2
2
+ 𝑐2
(𝑥 − 𝑎)
3
3
+ ⋯
+ 𝑐𝑛
(𝑥 − 𝑎)
𝑛 + 1
𝑛+1
 
𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎çã𝑜 
SÉRIE DE TAYLOR 𝑓(𝑥) = ∑
𝑓𝑛(𝑎)(𝑥 − 𝑎)𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0
 
POLINÔMIO DE 
TAYLOR 
𝑇𝑛(𝑥) = ∑
𝑓(𝑛)(𝑎)
𝑛!
(𝑥 − 𝑎)𝑛
∞
𝑛=0
 
SÉRIE DE 
MCLAURIN 
𝑓(𝑥) = ∑
𝑓𝑛(0)(𝑥 − 0)𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0
 
RESTO DE 
LAGRANGE 
|𝐸𝑛| = |𝑅𝑛| = |
𝑓(𝑛+1)(𝑐)
(𝑛 + 1)!
(𝑥 − 𝑎)(𝑛+1)| , 𝑎 ≤ 𝑐 ≤ 𝑥