A discussão dos sistemas lineares consiste em analisar parâmetros dos coeficientes com relação aodeterminante da matriz que representa os coeficien...

Analisando o sistema em questão, podemos verificar que a matriz dos coeficientes é: | 1 2 3 | | 4 5 6 | | 7 8 k | Calculando o determinante dessa matriz, temos: det(A) = 1*(5*k-48) - 2*(4*k-42) + 3*(4*8-5*7) det(A) = 5k - 48 - 8k + 84 + 96 - 105 det(A) = -3k + 27 A partir disso, podemos analisar cada sentença: I- O sistema é impossível, para todo k real diferente de -21. Para que o sistema seja impossível, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero. Logo, a sentença I é verdadeira se -3k + 27 ≠ 0, ou seja, k ≠ 9. Portanto, a sentença I é verdadeira para todo k real diferente de 9, e não de -21. II- O sistema é possível e indeterminado, para todo k real diferente de -63. O sistema é possível e indeterminado se o determinante da matriz dos coeficientes for igual a zero e pelo menos uma das equações for uma combinação linear das outras. Logo, a sentença II é verdadeira se -3k + 27 = 0 e se a terceira equação for uma combinação linear das duas primeiras. A terceira equação é 7x + 8y + kz = 0, que pode ser escrita como -7/8x - k/8z = y. Substituindo essa expressão na primeira equação, temos x + 2y + 3(-7/8x - k/8z) = 0, ou seja, (1-7/8)x - 3k/8z = 0. Simplificando, temos x - 3k/8z = 0. Substituindo essa expressão na segunda equação, temos 4x + 5y + 6(-7/8x - k/8z) = 0, ou seja, (4-35/8)x - 3k/4z = 0. Simplificando, temos x - 21k/32z = 0. Portanto, a sentença II é verdadeira se k ≠ 9 e k ≠ -63/5. III- O sistema é possível e determinado, para todo k real diferente de -21. O sistema é possível e determinado se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero e se não houver combinação linear entre as equações. Logo, a sentença III é verdadeira se -3k + 27 ≠ 0 e se as equações não forem combinações lineares entre si. Como o determinante é diferente de zero para todo k real diferente de 9, basta verificar se as equações são linearmente independentes. Para isso, podemos calcular o posto da matriz aumentada: | 1 2 3 0 | | 4 5 6 0 | | 7 8 k 0 | Subtraindo a primeira linha da segunda e a segunda linha da terceira, obtemos: | 1 2 3 0 | | 0 -3 -6 0 | | 0 -6 k-21 0 | Subtraindo a segunda linha da terceira, obtemos: | 1 2 3 0 | | 0 -3 -6 0 | | 0 0 k-63 0 | Portanto, o posto da matriz aumentada é 3 se k ≠ 63 e é 2 se k = 63. Logo, a sentença III é verdadeira para todo k real diferente de 63. IV- O sistema é possível e indeterminado, para todo k real diferente de -3. Analogamente à sentença II, a sentença IV é verdadeira se k ≠ 9 e k ≠ -15/7. Portanto, as sentenças verdadeiras são I para k ≠ 9, II para k ≠ 9 e k ≠ -63/5, III para k ≠ 63 e IV para k ≠ 9 e k ≠ -15/7.