1. Determine um fator integrante apropriado e resolva cada uma das equações (a) 2xydx+ y2dy = 0 (b) dx− 2xydy = 0 (c) xy2dx+ x2ydy = 0 (d) 3x2y...

Para resolver cada uma das equações diferenciais dadas, precisamos encontrar um fator integrante apropriado. Um fator integrante é uma função que multiplicamos a equação diferencial para torná-la exata. (a) 2xydx + y²dy = 0 Para encontrar o fator integrante, multiplicamos a equação por uma função u(x,y) que depende apenas de x ou y. Assim, temos: u(x,y) * (2xydx + y²dy) = (u(x,y)*2xy)dx + (u(x,y)*y²)dy Para que a equação seja exata, precisamos que: ∂(u(x,y)*2xy)/∂y = ∂(u(x,y)*y²)/∂x Derivando parcialmente em relação a y e x, respectivamente, temos: 2xu + 2xy∂u/∂y = 2yu + 2xy∂u/∂x Igualando as derivadas parciais, temos: ∂u/∂y = yu/x Essa é uma equação diferencial separável, que podemos resolver integrando ambos os lados: ∫(1/u)du = ∫(y/x)dy ln|u| = (y²/2x) + C onde C é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados, temos: |u| = e^(y²/2x + C) Como u deve ser positivo, podemos escrever: u(x,y) = e^(y²/2x) * e^C Assim, o fator integrante é u(x,y) = e^(y²/2x). Multiplicando a equação diferencial por esse fator integrante, temos: e^(y²/2x) * (2xydx + y²dy) = d(xe^(y²/2x)) Integrando ambos os lados, temos: xe^(y²/2x) = C onde C é a constante de integração. Portanto, a solução da equação diferencial é: xe^(y²/2x) = C (b) dx - 2xydy = 0 Para encontrar o fator integrante, multiplicamos a equação por uma função u(x,y) que depende apenas de x ou y. Assim, temos: u(x,y) * (dx - 2xydy) = (u(x,y)*dx) - (2xy*u(x,y))dy Para que a equação seja exata, precisamos que: ∂(u(x,y))/∂y = -2xy∂(u(x,y))/∂x Essa é uma equação diferencial separável, que podemos resolver integrando ambos os lados: ∫(1/u)du = -2∫(xy)dx ln|u| = -x²y + C onde C é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados, temos: |u| = e^(-x²y + C) Como u deve ser positivo, podemos escrever: u(x,y) = e^(-x²y) * e^C Assim, o fator integrante é u(x,y) = e^(-x²y). Multiplicando a equação diferencial por esse fator integrante, temos: e^(-x²y) * (dx - 2xydy) = d(e^(-x²y)) Integrando ambos os lados, temos: e^(-x²y) = C onde C é a constante de integração. Portanto, a solução da equação diferencial é: e^(-x²y) = C (c) xy²dx + x²ydy = 0 Para encontrar o fator integrante, multiplicamos a equação por uma função u(x,y) que depende apenas de x ou y. Assim, temos: u(x,y) * (xy²dx + x²ydy) = (u(x,y)*xy²)dx + (u(x,y)*x²y)dy Para que a equação seja exata, precisamos que: ∂(u(x,y)*xy²)/∂y = ∂(u(x,y)*x²y)/∂x Derivando parcialmente em relação a y e x, respectivamente, temos: 2xyu + y²x∂u/∂y = 2xyu + x³∂u/∂x Igualando as derivadas parciais, temos: ∂u/∂y = x∂u/∂x Essa é uma equação diferencial separável, que podemos resolver integrando ambos os lados: ∫(1/u)du = ∫(1/x)dx ln|u| = ln|x| + C onde C é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados, temos: |u| = e^C * |x| Como u deve ser positivo, podemos escrever: u(x,y) = x * e^C Assim, o fator integrante é u(x,y) = x. Multiplicando a equação diferencial por esse fator integrante, temos: x(xy²dx + x²ydy) = x²y²dx + x³ydy = d(x³y²/2) Integrando ambos os lados, temos: x³y²/2 = C onde C é a constante de integração. Portanto, a solução da equação diferencial é: x³y² = 2C (d) 3x²y²dx + (2x³y + x³y⁴)dy = 0 Para encontrar o fator integrante, multiplicamos a equação por uma função u(x,y) que depende apenas de x ou y. Assim, temos: u(x,y) * (3x²y²dx + (2x³y + x³y⁴)dy) = (u(x,y)*3x²y²)dx + (u(x,y)*(2x³y + x³y⁴))dy Para que a equação seja exata, precisamos que: ∂(u(x,y)*3x²y²)/∂y = ∂(u(x,y)*(2x³y + x³y⁴))/∂x Derivando parcialmente em relação a y e x, respectivamente, temos: 6x²yu + 3x⁴y³∂u/∂y = 6x²yu + 6x³y³ + 4x³y³∂u/∂x Igualando as derivadas parciais, temos: ∂u/∂y = (2x³y + x³y⁴)/3x⁴y³ Essa é uma equação diferencial separável, que podemos resolver integrando ambos os lados: ∫(1/u)du = ∫(2x³y + x³y⁴)/3x⁴y³ dy ln|u| = (x³y²)/3 + (x³y⁴)/12 + C onde C é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados, temos: |u| = e^((x³y²)/3 + (x³y⁴)/12 + C) Como u deve ser positivo, podemos escrever: u(x,y) = e^((x³y²)/3 + (x³y⁴)/12) * e^C Assim, o fator integrante é u(x,y) = e^((x³y²)/3 + (x³y⁴)/12). Multiplicando a equação diferencial por esse fator integrante, temos: e^((x³y²)/3 + (x³y⁴)/12) * (3x²y²dx + (2x³y + x³y⁴)dy) = d(e^((x³y²)/3 + (x³y⁴)/12)) Integrando ambos os lados, temos: e^((x³y²)/3 + (x³y⁴)/12) = C onde C é a constante de integração. Portanto, a solução da equação diferencial é: e^((x³y²)/3 + (x³y⁴)/12) = C