Grátis: Exerćıcio 7: reta furando um plano Considere o plano α e a reta r de respectivas equações α : 2x+ y − z = 4 r : (x, y, z) = (0, 3,−4) + t(1,−1, ...

Geometria Analítica

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Exerćıcio 7: reta furando um plano
Considere o plano α e a reta r de respectivas equações
α : 2x+ y − z = 4
r : (x, y, z) = (0, 3,−4) + t(1,−1, 2)
(a) Determine o ponto P = r ∩ α.
(b) Determine o plano que contém r e é perpendicular a α.
(c) Determine a reta que é a projeção ortogonal de r sobre α.
(d) Calcule ang(r, α).
(e) Determine a reta contida em α e que é perpendicular a r.

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há 2 anos

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há 2 anos

Para a questão (a), para determinar o ponto P = r ∩ α, você precisa resolver o sistema de equações entre a reta r e o plano α. Isso pode ser feito substituindo as equações da reta r na equação do plano α e resolvendo para encontrar o ponto de interseção. Para a questão (b), para determinar o plano que contém r e é perpendicular a α, você pode usar o produto vetorial entre o vetor diretor da reta r e o vetor normal do plano α para encontrar o vetor normal do novo plano. Para a questão (c), para determinar a reta que é a projeção ortogonal de r sobre α, você pode usar projeção ortogonal para encontrar a equação da reta. Para a questão (d), para calcular ang(r, α), você pode usar a fórmula do cosseno para encontrar o ângulo entre a reta e o plano. Para a questão (e), para determinar a reta contida em α e que é perpendicular a r, você pode usar o produto vetorial entre o vetor diretor da reta r e o vetor normal do plano α para encontrar o vetor diretor da nova reta. Espero que isso ajude!

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Exerćıcio 1: ponto e ponto
Considere os pontos A = (−1, 3, 2) e B = (2, 1, 6).
(a) Determine a equação paramétrica da reta
←→
AB.
(b) Calcule o ponto médio do segmento AB.
(c) Calcule dist(A,B).
(d) Determine o ponto simétrico A′ de A em relação ao ponto B.
(e) Determine o ponto simétrico B′ de B em relação ao ponto A.

Exerćıcio 2: ponto e reta
Considere a reta r de equação paramétrica (x, y, z) = (−7, 4, 9) + t(−2, 1, 2) e o ponto
A = (7, 4, 5).
(a) O ponto A pertence a reta r?
(b) Determine a equação do plano que contém r e A.
(c) Determine a reta perpendicular a r e que passa por A.
(d) Calcule dist(A, r).
(e) Determine o ponto simétrico de A em relação a reta r.

Exerćıcio 3: ponto e plano
Considere o plano α de equação x− 2y + 3z = 4 e o ponto A = (2, 8,−8).
(a) O ponto A pertece ao plano α?
(b) Determine a equação paramétrica da reta que passa por A e é perpendicular ao
plano α.
(c) Calcule dist(A,α).
(d) Determine o ponto simétrico de A em relação ao plano α.

Exerćıcio 4: duas retas paralelas
Considere as retas paralelas
r : (x, y, z) = (−6, 3,−2) + t(3,−1, 2)
s : (x, y, z) = (−3, 30,−14) + s(3,−1, 2)
(a) Determine a equação do plano α que contém r e s.
(b) Dê um exemplo de uma reta perpendicular a r e a s.
(c) Calcule dist(r, s).
(d) Determine uma reta contida em α e que está equidistante de r e de s.

Exerćıcio 9: reta contida em um plano
Considere o plano α e a reta r de equações
α : x+ 2y − z = 3
r : (x, y, z) = (2, 1, 1) + t(2, 1, 4)
(a) Mostre que r ⊂ α.
(b) Determine o plano que contém r e que é perpendicular a α.
(c) Dê um exemplo de uma reta contida em α e que é perpendicular a r.

Exerćıcio 10: planos paralelos
Considere os planos
α : 2x− y + z = 1
β : 4x− 2y + 2z = 5
(a) Mostre que α e β são planos paralelos.
(b) Determine a reta perpendicular a α e a β e que passa pela origem.
(c) Calcule dist(α, β).

Exerćıcio 11: planos concorrentes
Considere os planos
α : x− y + 3z = 1
β : 2x− 3y − z = 2
(a) Mostre que α e β não são paralelos.
(b) Determine a equação da reta α ∩ β.
(c) Calcule ang(α, β).
(d) Dê um exemplo de um plano perpendicular a α e a β.

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Exerćıcio 10: planos paralelosConsidere os planosα : 2x− y + z = 1β : 4x− 2y + 2z = 5(a) Mostre que α e β são planos paralelos.(b) Determine a reta perpendicular a α e a β e que passa pela origem.(c) Calcule dist(α, β).

Exerćıcio 11: planos concorrentesConsidere os planosα : x− y + 3z = 1β : 2x− 3y − z = 2(a) Mostre que α e β não são paralelos.(b) Determine a equação da reta α ∩ β.(c) Calcule ang(α, β).(d) Dê um exemplo de um plano perpendicular a α e a β.

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α : 2x− y + z = 1
β : 4x− 2y + 2z = 5
(a) Mostre que α e β são planos paralelos.
(b) Determine a reta perpendicular a α e a β e que passa pela origem.
(c) Calcule dist(α, β).

Exerćıcio 11: planos concorrentes
Considere os planos
α : x− y + 3z = 1
β : 2x− 3y − z = 2
(a) Mostre que α e β não são paralelos.
(b) Determine a equação da reta α ∩ β.
(c) Calcule ang(α, β).
(d) Dê um exemplo de um plano perpendicular a α e a β.