5-Considere a integral de linha I = ∫ F.dr, onde C é a fronteira da região do primeiro quadrante limitado por x² + y² = 1 e z = 4, definido por F(x...

Vamos resolver a integral de linha usando o Teorema de Green. Dada a região do primeiro quadrante limitada por x² + y² = 1 e z = 4, e a função F(x,y) = ((x² - y²)/(x² + y²), (2xy)/(x² + y²)), podemos calcular a integral. Calculando a divergência de F: ∂(2xy/(x² + y²))/∂x - ∂((x² - y²)/(x² + y²))/∂y = (2y(x² + y²) - 2xy(2y))/(x² + y²)² = (2y(x² + y²) - 4xy²)/(x² + y²)² = (2y - 4y)/(x² + y²) = -2y/(x² + y²) Aplicando o Teorema de Green, a integral de linha I = ∫∫(∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA, onde P = (x² - y²)/(x² + y²) e Q = 2xy/(x² + y²). Como a região é o primeiro quadrante limitado por x² + y² = 1, podemos fazer a mudança para coordenadas polares. Assim, a integral se torna: I = ∫∫(∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∫[0,π/2] ∫[0,1] -2r sen(θ) dr dθ = ∫[0,π/2] [-cos(θ)] dθ = -[sen(θ)] [0,π/2] = -sen(π/2) + sen(0) = -1 + 0 = -1 Portanto, a resposta correta não está entre as alternativas fornecidas.